[论文解读] Efficient quantum algorithm for solving travelling salesman problem: An IBM quantum experience

Karthik Srinivasan, Saipriya Satyajit+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 39

一句话总结

该论文提出了一种基于相位估计算法和量子搜索的量子算法，用于求解NP难的旅行商问题（TSP），通过将城市间的距离编码为量子相位，实现酉操作。该算法通过估计所有可能路径对应的相位，并利用幅值放大技术寻找最小成本的哈密顿回路，实现了相对于经典暴力搜索方法的二次加速。该算法已在IBM Quantum Experience上对4个城市实例进行了仿真验证。

ABSTRACT

The famous Travelling Salesman Problem (TSP) is an important category of optimization problems that is mostly encountered in various areas of science and engineering. Studying optimization problems motivates to develop advanced techniques more suited to contemporary practical problems. Among those, especially the NP hard problems provide an apt platform to demonstrate supremacy of quantum over classical technologies in terms of resources and time. TSP is one such NP hard problem in combinatorial optimization which takes exponential time order for solving by brute force method. Here we propose a quantum algorithm to solve the travelling salesman problem using phase estimation technique. We approach the problem by encoding the given distances between the cities as phases. We construct unitary operators whose eigenvectors are the computational basis states and eigenvalues are various combinations of these phases. Then we apply phase estimation algorithm to certain eigenstates which give us all the total distances possible for all the routes. After obtaining the distances we can search through this information using the quantum search algorithm for finding the minimum to find the least possible distance as well the route taken. This provides us a quadratic speedup over the classical brute force method for a large number of cities. In this paper, we illustrate an example of the travelling salesman problem by taking four cities and present the results by simulating the codes in the IBM's quantum simulator.

研究动机与目标

• 开发一种利用量子相位估计算法和幅值放大技术高效求解NP难旅行商问题（TSP）的量子算法。
• 将城市间的距离编码为量子相位，以实现量子计算机上的酉演化与相位估计。
• 在寻找最优TSP路径时，实现相对于经典暴力搜索方法的二次加速。
• 通过在IBM Quantum Experience上使用4个城市示例进行仿真，验证该算法的可行性。

提出的方法

• 通过将每个距离 $\phi_{ij}$ 映射为相位 $e^{i\phi_{ij}}$，将TSP距离矩阵编码为酉矩阵，形成酉算符 $B$。
• 构建一个受控酉操作 $C-U$，对特定路径应用相位偏移，其中本征态编码了路径序列。
• 使用量子相位估计算法（QPE）估计与给定路径对应的本征态的相位，其中相位编码了总路径成本。
• 应用逆量子傅里叶变换（QFT）以提取相位信息，该信息对应于路径的总距离。
• 使用Dürr和Hoyer的量子搜索算法，在所有 $ (N-1)! $ 种可能路径中找到最小相位（即最小总距离）。
• 使用自定义拓扑结构和QASM代码，在IBM Quantum Experience上对4个城市TSP实例的完整电路进行仿真。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于相位估计算法和幅值放大技术的量子算法能否在求解TSP时实现相对于经典暴力搜索的二次加速？
• RQ2 如何将非酉的距离矩阵编码为量子相位，以实现TSP路径的酉演化？
• RQ3 本征态在TSP量子电路中表示哈密顿回路的角色是什么？
• RQ4 该算法在更大规模TSP实例下的电路深度和量子比特需求如何扩展？
• RQ5 该算法能否在近场量子硬件（如IBM Quantum处理器）上实现并验证？

主要发现

• 该算法在寻找最小TSP路径时，实现了相对于经典暴力搜索的二次加速，其复杂度为 $ O(\sqrt{(N-1)!}) $（$ N $ 个城市）。
• 对于4个城市TSP实例，该量子电路已成功在IBM Quantum Experience上使用14个量子比特和自定义酉子程序完成仿真。
• 相位估计算法正确地将总路径成本编码为相位，并通过逆QFT提取和测量。
• 利用相位表示距离使得酉操作成为可能，从而克服了经典距离矩阵的非酉性。
• 该算法在不施加对TSP实例的限制性假设（如对称性或有界度）下依然有效。
• 仿真结果表明，包括受控酉操作和QPE在内的完整电路，可使用标准量子门和IBM的自定义拓扑结构实现。