[论文解读] Einstein Gravity from Conformal Gravity

Juan Maldacena|arXiv (Cornell University)|May 27, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用 182

一句话总结

该论文表明，当在度规上施加一个简单的诺伊曼边界条件时，四维共形重力能够重现渐近德西特或欧几里得反德西特时空下的半经典宇宙波函数。该边界条件消除了共形重力中的鬼态，并仅选择爱因斯坦解，从而在树图水平上使共形重力等价于带有宇宙学常数的爱因斯坦重力。

ABSTRACT

We show that that four dimensional conformal gravity plus a simple Neumann boundary condition can be used to get the semiclassical (or tree level) wavefunction of the universe of four dimensional asymptotically de-Sitter or Euclidean anti-de Sitter spacetimes. This simple Neumann boundary condition selects the Einstein solution out of the more numerous solutions of conformal gravity. It thus removes the ghosts of conformal gravity from this computation. In the case of a five dimensional pure gravity theory with a positive cosmological constant we show that the late time superhorizon tree level probability measure, $|Ψ[ g ]|^2$, for its four dimensional spatial slices is given by the action of Euclidean four dimensional conformal gravity.

研究动机与目标

• 建立共形重力与渐近德西特或欧几里得反德西特时空下爱因斯坦重力之间的联系。
• 证明在度规上施加一个简单的诺伊曼边界条件，可从共形重力更广泛的解空间中选择出爱因斯坦解。
• 证明五维德西特重力中晚期超 horizon 概率测度 $|\Psi[g]|^2$ 由四维共形重力作用支配。
• 提供一个经典、树图水平的框架，使共形重力可替代爱因斯坦重力来计算宇宙的波函数泛函。

提出的方法

• 使用共形重力作用 $S_{\text{conf}} = \int d^4x \sqrt{g} \, W^2$，该作用在 Weyl 变换 $g_{\mu\nu} \to \Omega^2 g_{\mu\nu}$ 下保持不变。
• 在未来无穷远或时空边界处对度规施加诺伊曼边界条件，从而从共形重力的解中选择出爱因斯坦解。
• 从欧几里得反德西特（EAdS）到德西特时空的解析延拓，将德西特时空中的宇宙波函数与共形重力作用联系起来。
• 通过全息理论和反项的已知结果，证明渐近双曲空间中爱因斯坦重力的正规化边界作用等于共形重力作用。
• 利用共形重力作用在五维 $AdS_5$ 计算中表现为对数发散的特性，该发散在解析延拓到德西特时空后变为有限且实数。
• 应用态-算符对应与共形对称性，分析共形重力中的二次涨落与态的范数，通过运动方程识别鬼态与零态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在渐近德西特或欧几里得反德西特时空中，带有边界条件的共形重力能否重现树图水平的宇宙波函数？
• RQ2 度规上的诺伊曼边界条件如何在共形重力中消除鬼态并仅选择爱因斯坦解？
• RQ3 为何五维德西特重力中晚期超 horizon 概率测度 $|\Psi[g]|^2$ 会简化为四维共形重力作用？
• RQ4 共形重力作用在全息反项与渐近双曲爱因斯坦空间中正规化爱因斯坦作用中扮演何种角色？

主要发现

• 在共形重力中，对度规施加诺伊曼边界条件可仅选择出爱因斯坦解，有效消除鬼度自由度，并使该理论在树图水平上等价于带有宇宙学常数的爱因斯坦重力。
• 四维渐近德西特时空下宇宙的树图波函数泛函由 $|\Psi[g]|^2 = e^{-S_{\text{conf}}[g]}$ 给出，其中 $S_{\text{conf}}$ 为共形重力作用。
• 在具有正宇宙学常数的五维纯重力中，四维空间切片的晚期超 horizon 概率测度 $|\Psi[g]|^2$ 由欧几里得四维共形重力作用所支配。
• 共形重力作用重现了渐近双曲爱因斯坦空间中正规化边界爱因斯坦作用，确认其在全息理论中作为反项的角色。
• 共形重力作用作为五维理论在德西特时空中的解析延拓路径积分的有限实部出现，源于五维理论的对数发散。
• 在线性化情形下，由于 Weyl 张量的非幺正共形维数，共形重力表现出正负范数态，但零态由运动方程产生，与一个一致的量子理论相容。