[论文解读] Einstein Metrics on Spheres

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki+1 more|ArXiv.org|Sep 24, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文利用来自Brieskorn-Pham奇点的Sasakian-Einstein结构，在奇数维球面（包括标准球面与异类球面）上构造了无穷多个非同构的非齐次爱因斯坦度量。通过在加权射影商空间上的轨道Kähler-Einstein度量上应用连续法，作者证明了在标准与异类球面上均存在双指数数量级的此类度量族，从而解决了关于异类球面上爱因斯坦度量存在的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We prove the existence of an abundance of new Einstein metrics on odd dimensional spheres including exotic spheres, many of them depending on continuous parameters. The number of families as well as the number of parameter grows double exponentially with the dimension. Our method of proof uses Brieskorn-Pham singularities to realize spheres (and exotic spheres) as circle orbi-bundles over complex algebraic orbifolds, and lift a Kaehler-Einstein metric from the orbifold to a Sasakian-Einstein metric on the sphere.

研究动机与目标

• 解决异类球面上是否存在爱因斯坦度量的开放性问题。
• 展示奇数维球面上非齐次爱因斯坦度量的丰富性。
• 将已知的齐次爱因斯坦度量结果推广至球面上的非齐次、连续族度量。
• 证明所有7-球面的定向微分同胚类型上均存在爱因斯坦度量。

提出的方法

• 利用在ℂ^m中定义为∑z_i^{a_i} = 0的Brieskorn-Pham奇点及其在S^{2m-1}中的链L(a)。
• 在商空间(Y(a)\{0})/ℂ*上应用连续法构造轨道Kähler-Einstein度量。
• 将Kähler-Einstein结构提升至链L(a)上的Sasakian-Einstein度量，其为(2m-3)维流形。
• 对序列a = (a_1,…,a_m)施加数值条件，以通过连续法确保Kähler-Einstein度量的存在性。
• 使用定义多项式的加权齐次扰动，生成连续族的非等价度量。
• 结合代数几何与微分拓扑学结果，包括欧几里得序列与素数分布的性质，构造双指数数量级的度量族。

实验结果

研究问题

• RQ1 异类球面是否允许存在爱因斯坦度量，若存在，其不同族的数量是多少？
• RQ2 除了标准与齐次度量外，能否在奇数维球面上构造出非齐次爱因斯坦度量？
• RQ3 球面上Sasakian-Einstein度量的模空间的维数与结构如何？
• RQ4 随着维数增加，此类度量的数量与分布如何增长？
• RQ5 该构造能否推广至同时在标准球面与异类球面上生成度量？

主要发现

• 在S^5上，本文构造了68个非等价的Sasakian-Einstein度量族，其中一族实维数为10。
• 在S^7上，所有28个同伦7-球面的定向微分同胚类型均允许非等价的Sasakian-Einstein结构族，族数范围从231到452不等。
• 标准7-球面存在一个82维的Sasakian-Einstein度量族，如例41所示。
• 利用欧几里得序列，该方法至少可生成(1/3)(1.264)^{2^{m-1}} - 0.5个非等价的Sasakian-Einstein度量族，适用于(2m-3)-球面。
• 对于基于欧几里得序列的序列，该方法在某些(2m-3)-球面上可产生实维数至少为2((1.264)^{2^{m-1}} - 2.5)的族。
• 该构造在标准球面与Kervaire (4m-3)-球面上均产生双指数数量级的非等价度量族，尤其当a_m被选为某个合适区间内的素数时。