[论文解读] Electrode modelling: The effect of contact impedance

Stratos Staboulis, Jérémi Dardé|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Electrical and Bioimpedance Tomography参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文严格分析了在接触阻抗趋于零时，电气阻抗断层扫描（EIT）中完整电极模型（CEM）向分流模型（SM）的收敛性。证明了电极电压测量误差几乎与接触阻抗成线性关系（O(z^s)，其中 s < 1），而空间电势误差为 O(z^s)，其中 s < 1/2；有限元逼近显示了较低的正则性，且两种模型的收敛速率不同。

ABSTRACT

The most realistic model for current-to-voltage measurements of electrical impedance tomography is the complete electrode model which takes into account electrode shapes and contact impedances at the electrode/object interfaces. When contact impedances are small, numerical instability can be avoided by replacing the complete model with the shunt model in which perfect contacts, that is zero contact impedances, are assumed. In the present work we show that using the shunt model causes only a (almost) linear error with respect to the contact impedances in modelling absolute current-to-voltage measurements. Moreover, we note that the electric potentials predicted by the two models exhibit genuinely different Sobolev regularity properties. This, in particular, causes different convergence rates for finite element approximation of the potentials. The theoretical results are backed up by two dimensional numerical experiments.

研究动机与目标

• 严格证明当接触阻抗较小时，分流模型（SM）可作为完整电极模型（CEM）的稳定近似。
• 解决接触阻抗趋近于零时基于CEM的EIT重建中的数值不稳定性问题。
• 在Sobolev范数下建立CEM与SM解之间的收敛速率，特别是针对有限元逼近。
• 阐明CEM与SM解在Sobolev正则性上的差异，该差异影响有限元的收敛速率。
• 通过二维数值实验支持理论结果，验证关于网格尺寸和接触阻抗的收敛速率。

提出的方法

• 采用抽象泛函分析框架，证明当接触阻抗 z → 0 时，CEM收敛于SM。
• 应用对偶论证，推导电极电压测量的改进收敛速率。
• 利用椭圆混合边值问题的正则性理论，量化CEM与SM解的Sobolev正则性。
• 使用Céa引理和多项式插值，推导分片线性有限元逼近的先验误差估计。
• 通过SM的子空间投影解释，关联CEM与SM的解，并推导误差界。
• 进行二维数值实验，验证H^1、L^2及电极测量算子范数下的理论收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当接触阻抗 z 趋近于零时，完整电极模型（CEM）是否收敛于分流模型（SM），收敛速率如何？
• RQ2 CEM与SM解的Sobolev正则性特性有何不同，这对有限元收敛速率有何影响？
• RQ3 CEM与SM的有限元逼近收敛速率如何，两者之间有何比较？
• RQ4 在用SM替代CEM时，电极电压测量误差如何随接触阻抗变化？
• RQ5 为何有限元方法对SM解的逼近精度高于对CEM解的逼近，这与正则性有何关联？

主要发现

• CEM与SM解之间的H^1误差为 O(z^s)，其中任意 s < 1/2，且在典型二维情况下 s = 1/2 为最优值。
• CEM与SM之间电极电压测量误差几乎为线性，为 O(z^s)，其中任意 s < 1，这是由于SM的子空间投影结构所致。
• CEM的空间电势解具有更高的Sobolev正则性（H^{1+s}，其中 s < 1/2），而SM的正则性为 H^{1+s}（其中 s < 1/2），导致有限元收敛速率不同。
• CEM的有限元逼近在L^2与H^1范数下的收敛速率为 O(h^{1+2s})，且当 z → 0 时常数趋于无穷。
• 由于正则性差距，有限元方法对电极电压的逼近精度比对空间电势高出约两倍。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并表明当 z 较小时，SM对电极电压的逼近精度高于CEM。