[论文解读] Elementary Transversality in the Schubert calculus in any Characteristic

Frank Sottile|ArXiv.org|Oct 31, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提供了关于一般余维数1的施伯特流形在格拉斯曼流形、旗流形、正交格拉斯曼流形以及有理曲线空间中横截相交的特征无关证明——确保在所有特征下（正交格拉斯曼流形除外特征2）相应的交数是可枚举的。通过基于切空间分析和[21]形式化的初等方法，该文在不依赖拉克索夫与斯佩泽尔等一般定理（这些定理在本类情形下不成立）的前提下建立了横截性。

ABSTRACT

We give a characteristic-free proof that general codimension-1 Schubert varieties meet transversally in a Grassmannian and in some related varieties. Thus the corresponding intersection numbers computed in the Chow (and quantum Chow) rings of these varieties are enumerative in all characteristics. We show that known transversality results do not apply to these enumerative problems, emphasizing the need for additional theoretical work on transversality. The method of proof also strengthens some results in real enumerative geometry.

研究动机与目标

• 在任意代数闭域（包括正特征）上建立格拉斯曼流形及相关空间中一般余维数1施伯特流形的横截性。
• 证明由此类相交产生的交数是可枚举的，即以重数1计数解，在所有特征下均成立。
• 表明现有横截性理论（特别是拉克索夫与斯佩泽尔的理论）不适用于这些经典枚举问题。
• 利用所发展的框架加强实代数几何中的枚举结果。
• 提出一个更广泛的猜想：除正交群可能在特征2下外，经典施伯特演算在所有特征下都是可枚举的。

提出的方法

• 采用基于施伯特流形交点处切空间分析的初等、特征无关方法。
• 应用[21]的形式化语言，通过切空间之间的线性映射及其秩来分析横截性。
• 定义映射αL,x无法达到最大秩的点的集合ΔL，并计算其余维数。
• 表明对于一般施伯特流形，该集合ΔL要么为空，要么其余维数恰好等于预期值ρL，从而推出横截性。
• 构造族X为在格拉斯曼流形上的纤维积，其纤维对应于光滑施伯特流形的交。
• 证明族X不满足拉克索夫与斯佩泽尔意义上的“行列式型”条件，从而说明其一般理论不适用于此情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意特征（包括正特征）下建立一般余维数1施伯特流形的横截性？
• RQ2 为何标准横截性定理（如拉克索夫与斯佩泽尔的定理）不适用于这些经典施伯特演算问题？
• RQ3 经典施伯特演算中的交数是否在所有特征下都是可枚举的，特别是在正特征下？
• RQ4 [21]的形式化语言是否不仅能用于构造实解，还能用于证明枚举问题中的横截性？
• RQ5 是否存在更广泛的原理或新判据，能够捕捉现有普遍理论之外的枚举几何中的横截性？

主要发现

• 在任意特征下，格拉斯曼流形中的一般余维数1施伯特流形均横截相交，确保相应的交数是可枚举的。
• 在7维空间中，12个一般4维平面的交数恰好为462，且该计数在所有特征下均成立。
• 对于N = 5q + 6个一般点与5维空间中的3维平面，满足每对点的q次有理曲线的条数恰好为第(5 + 5q)个斐波那契数，且该计数在所有特征下均为可枚举的。
• 简单施伯特流形族不满足拉克索夫与斯佩泽尔的行列式条件，表明其理论不适用于这些情形。
• 在光滑点处，施伯特流形的切空间是格拉斯曼流形切空间的线性子空间，且此类切空间在稳定子群作用下构成一个轨道。
• 失败集ΔL的余维数恰好为n−2，而预期余维数ρL在l > 0且r, n−r > 1时大于此值，通过维数计数证明了横截性。