[论文解读] Elliptic genera, torus manifolds and multi-fans

Akio Hattori, Mikiya Masuda|ArXiv.org|Jul 3, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文引入了多扇形和环面轨道簇的等变椭圆亏格与轨道簇椭圆亏格，将环道几何推广至轨道簇设定。利用Atiyah-Singer不动点定理与Duistermaat-Heckman公式，证明了一个消去定理：若全局型多扇形的第一陈类被 $ N $ 整除，则其 $ N $ 水平的椭圆亏格消失，将光滑环道簇的刚性与消去结果推广至轨道簇。

ABSTRACT

The rigidity theorem of Witten-Bott-Taubes-Hirzebruch tells us that, if the circle group acts on a closed almost complex (or more generally unitary) manifold whose first Chern class is divisible by a positive integer N greater than 1, then its equivariant elliptic genus of level N is rigid. Applying this to a non-singular compact toric variety, we see that its elliptic genus of level N is rigid if its first Chern class is divisible by N. But, using a vanishing theorem of Hirzebruch, we can show moreover that the genus actually vanishes. In this note we shall extend this result to torus manifolds. In fact, a non-singular complete multi-fan is associated with a torus manifold, and rigidity and vanishing of elliptic genus of level N can be formulated and proved for non-singular complete multi-fans. Some applications on compact non-singular toric varieties with the first Chern class divisible by a large positive integer are given.

研究动机与目标

• 为多扇形与环面轨道簇定义等变椭圆亏格与轨道簇椭圆亏格，将环道几何推广至轨道簇设定。
• 利用Atiyah-Singer不动点定理与Duistermaat-Heckman理论，建立这些亏格的特征公式。
• 证明当第一陈类被 $ N $ 整除时，全局型多扇形上 $ N $ 水平椭圆亏格的消去定理。
• 将光滑环道簇的刚性与消去结果推广至环面轨道簇及其关联的多扇形。

提出的方法

• 利用环道作用在稳定几乎复轨道簇上的Atiyah-Singer型不动点公式，推导等变椭圆亏格的特征公式。
• 应用Duistermaat-Heckman函数在多多面体上的重数公式，将亏格表示为环道的虚拟特征。
• 为多扇形与生成向量对定义第一陈类，从而在消去问题中引入数论条件。
• 通过多扇形结构，将Hirzebruch与Taubes的刚性与消去定理转化为组合形式。
• 推导出 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 与 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 的显式公式 (34)、(35) 与 (36)，以不动点数据与各向同性群表示。
• 建立轨道簇图册与不动点集分量之间的对应关系，将亏格表示为各向同性群与锥的和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将等变椭圆亏格推广至环面轨道簇及其关联的多扇形？
• RQ2 哪些特征公式控制具有生成向量的完备单纯多扇形的等变椭圆亏格？
• RQ3 在何种组合条件下，全局型多扇形的 $ N $ 水平椭圆亏格会消失？
• RQ4 通过多扇形结构，椭圆亏格的刚性如何从光滑环道簇推广至轨道簇设定？
• RQ5 该消去定理对多扇形背景下 $ T_y $-亏格与Todd亏格的含义是什么？

主要发现

• 环面轨道簇 $ M $ 的等变椭圆亏格 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 由涉及最大锥与各向同性群的和的特征公式给出，如公式 (34) 所示。
• 轨道簇椭圆亏格 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 通过各向同性群与不动点分量的双重和表示，如公式 (35) 所示。
• 对于第一陈类被 $ N $ 整除的全局型多扇形，$ N $ 水平的椭圆亏格消失，如推论 5.3 所述。
• 当 $ N=2 $ 时，亏格的消失意味着相应自旋环道流形的示性数为零。
• $ T_y $-亏格在完备多扇形上消失，若 $ (-y)^N = 1 $ 且第一陈类被 $ N $ 整除，此结果推广自 [6]。
• 若一个完备非奇异多扇形的Todd亏格非零且 $ c_1 $ 被 $ N $ 整除，则 $ N \nleq n+1 $，且等式成立时，该扇形同构于 $ \bP^n $。