[论文解读] Embedding AC Power Flow in the Complex Plane Part I: Modelling and Mathematical Foundation

Sina Sadeghi Baghsorkhi, Sergey Pavlovich Suetin|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2016

Power System Optimization and Stability参考文献 34被引用 21

一句话总结

本文提出了一种基于Padé逼近的解析延拓方法的复平面框架，用于交流潮流分析，实现了对电压控制和指数型负荷的稳健建模。研究证明，Padé逼近的零极点分布可作为电压崩溃的接近度指标，其收敛性由Stahl理论及Stahl区域内格林函数决定。

ABSTRACT

Part I of this paper embeds the AC power flow problem with voltage control and exponential load model in the complex plane. Modeling the action of network controllers that regulate the magnitude of voltage phasors is a challenging task in the complex plane as it has to preserve the framework of holomorphicity for obtention of these complex variables with fixed magnitude. The paper presents two distinct approaches to modelling the voltage control of generator nodes. Exponential (or voltage-dependent) load models are crucial for accurate power flow studies under stressed conditions. This new framework for power flow studies exploits the theory of analytic continuation, especially the monodromy theorem for resolving issues that have plagued conventional numerical methods for decades. Here the focus is on the indispensable role of Pade approximants for analytic continuation of complex functions, expressed as power series, beyond the boundary of convergence of the series. The zero-pole distribution of these rational approximants serves as a proximity index to voltage collapse. Finally the mathematical underpinnings of this framework, namely the Stahl's theory and the rate of convergence of Pade approximants are explained.

研究动机与目标

• 开发一种数学上严格的交流潮流问题复平面公式化方法，确保在电压控制下保持全纯性。
• 解决在全纯框架下对发电机节点电压控制建模这一长期挑战。
• 引入指数型（电压相关）负荷模型，以在系统受应力条件下提高建模精度。
• 利用Padé逼近实现解析延拓，将收敛域扩展至泰勒级数收敛半径之外。
• 基于Stahl紧集与格林函数，建立理论基础，用于表征收敛性及接近电压崩溃的程度。

提出的方法

• 在复平面上基于相量注入与导纳矩阵公式化交流潮流问题。
• 采用两种不同方法在发电机节点建模电压控制，同时保持复变量模长固定下的全纯性。
• 利用Padé逼近对复潮流函数进行解析延拓，使其超越泰勒级数的收敛半径。
• 应用单值定理与解析延拓理论，解决传统牛顿-拉夫森方法中的收敛问题。
• 应用Stahl理论以确定Stahl紧集 $ S $ 与Stahl区域 $ D $，其中Padé逼近在容量意义下收敛。
• 利用格林函数 $ g_S(z,0) $ 表征Stahl区域 $ D $ 内Padé逼近的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在复平面上的全纯框架内对发电机节点的电压控制进行建模，同时不破坏解析性？
• RQ2 Padé逼近在将交流潮流解的收敛域扩展至泰勒级数收敛半径之外时发挥何种作用？
• RQ3 Padé逼近的零极点分布如何与电压崩溃的接近度及鞍结分岔相关联？
• RQ4 在由潮流方程导出的代数函数背景下，Padé逼近收敛性的理论基础是什么？
• RQ5 Stahl理论，特别是Stahl紧集与格林函数，如何表征Padé逼近在潮流分析中的收敛行为？

主要发现

• Padé逼近为将复潮流函数从其泰勒级数展开的收敛半径外继续延拓提供了一种数值上稳健的方法。
• Padé逼近的零极点分布向Stahl紧集 $ S $ 聚集，其在分支点附近密度较高，而在Chebotarev点附近密度较低。
• Padé逼近 $[n/n]_f(z)$ 在Stahl区域 $ D $ 内以容量意义收敛于真实函数 $ f(z) $，其收敛速率满足 $ |f - [n/n]_f|^{1/n} \to e^{-2g_S(z,0)} $，当 $ n \to \infty $ 时。
• 格林函数 $ g_S(z,0) $ 通过在双周期黎曼曲面上的阿贝尔积分定义，决定Padé逼近在Stahl区域内的局部收敛速率，当 $ z $ 接近边界 $ S $ 时收敛速度减慢。
• Stahl紧集 $ S $ 在代数潮流方程 $ P(z,f(z)) = 0 $ 的多项式系数发生小扰动时保持稳定。
• 该框架揭示了潮流可行性边界与鞍结分岔边界并不必然相同，分岔点之后可能存在非物理解。