[论文解读] Embedding mapping class groups into finite products of trees

David Hume|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文通過證明一個相對瓶頸性質，該性質特徵化了擬等距於樹分級空間的空間，確立了緊緻曲面的映射類群擬等距嵌入到有限個單純複形樹的乘積中。主要結果為：此類群具有有限的 Assouad-Nagata 維數，且可嵌入到 ℓ¹(ℕ) 和所有 p ≥ 1 的 ℓᵖ(ℕ) 中，其壓縮指數為 1。

ABSTRACT

We prove the equivalence between a relative bottleneck property and being quasi-isometric to a tree-graded space. As a consequence, we deduce that the quasi-trees of spaces defined axiomatically by Bestvina-Bromberg-Fujiwara are quasi-isometric to tree-graded spaces. Using this we prove that mapping class groups quasi-isometrically embed into a finite product of simplicial trees. In particular, these groups have finite Assouad-Nagata dimension, direct embeddings exhibiting $\ell^p$ compression exponent $1$ for all $p\geq 1$ and they quasi-isometrically embed into $\ell^1(\mathbb N)$. We deduce similar consequences for relatively hyperbolic groups whose parabolic subgroups satisfy such conditions. In obtaining these results we also demonstrate that curve complexes of compact surfaces and coned-off graphs of relatively hyperbolic groups admit quasi-isometric embeddings into finite products of trees.

研究动机与目标

• 透過相對瓶頸性質，建立樹分級空間的擬等距特徵化。
• 證明由 Bestvina-Bromberg-Fujiwara 定義的空間的擬樹是擬等距於樹分級空間的。
• 展示緊緻曲面的映射類群擬等距嵌入到有限個單純複形樹的乘積中。
• 將這些結果推廣至其拋物子群滿足相同條件的相對雙曲群。
• 推導出這些嵌入在粗幾何上的後果，特別是關於漸近維數與 ℓᵖ 嵌入的性質。

提出的方法

• 引入相對瓶頸性質，作為樹分級空間的擬等距特徵化。
• 證明一個測地度量空間滿足相對瓶頸性質，當且僅當它擬等距於具有均勻擬等距片段的樹分級空間。
• 將此特徵化應用於 BBF 公理框架中的擬樹空間。
• 利用曲面曲線複形與相對雙曲群的錐化圖可擬等距嵌入到樹的有限乘積中的事實。
• 構造映射類群到樹分級空間乘積的擬等距嵌入，再透過分段擬等距嵌入將其轉化為單純複形樹的乘積。
• 利用 Hume (2015) 的結果，構造出進入 ℓᵖ 空間的顯式嵌入，其壓縮指數為 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 相對瓶頸性質能否用於特徵化擬等距於樹分級空間的空間？
• RQ2 由 Bestvina-Bromberg-Fujiwara 定義的擬樹空間是否擬等距於樹分級空間？
• RQ3 緊緻曲面的映射類群是否擬等距嵌入到有限個單純複形樹的乘積中？
• RQ4 此類嵌入的粗幾何後果為何，特別是關於漸近維數與 ℓᵖ 壓縮指數？
• RQ5 類似結果能否推廣至其拋物子群滿足相對瓶頸條件的相對雙曲群？

主要发现

• 緊緻曲面的映射類群擬等距嵌入到有限個單純複形樹的乘積中。
• 此嵌入意味著映射類群具有有限的 Assouad-Nagata 維數。
• 映射類群可擬等距嵌入到 ℓ¹(ℕ) 中。
• 對於所有 p ≥ 1，映射類群在 ℓᵖ(ℕ) 中具有顯式嵌入，其 ℓᵖ 壓縮指數為 1。
• 緊緻曲面的曲線複形與相對雙曲群的錐化圖可擬等距嵌入到樹的有限乘積中。
• 其拋物子群滿足相對瓶頸性質的相對雙曲群亦擬等距嵌入到樹的有限乘積中，並具有類似的幾何後果。