[论文解读] Embeddings of $3$--manifolds via open books

Dishant M. Pancholi, Suhas Pandit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文证明了每个闭合的、定向的3-流形都可以嵌入到 $S^3 \times S^2$ 和 $S^2\widetilde{\times}S^3$ 的特定开书分解中，其页为 $S^2$ 上的圆盘丛且单值变换为平凡，且该嵌入为开书嵌入。利用此嵌入技术，作者以一种新的几何方法重新证明了每个此类3-流形光滑地嵌入于 $S^5$，其核心为柔性曲面与开书结构的结合。

ABSTRACT

In this note, we discuss embeddings of $3$--manifolds via open books. First we show that every open book of every closed orientable $3$--manifold admits an open book embedding in any open book decompistion of $S^2 imes S^3$ and $S^2 \widetilde{ imes} S^3$ with the page a disk bundle over $S^2$ and monodromy the identity. We then use open book embeddings to reprove that every closed orientable $3$--manifold embeds in $S^5.$

研究动机与目标

• 建立任意闭合、定向3-流形对 $S^3 \times S^2$ 和 $S^2\widetilde{\times}S^3$ 的特定开书分解的开书嵌入，其页为 $S^2$ 上的圆盘丛且单值变换为平凡。
• 通过柔性曲面与 $S^3\times S^2$ 和 $S^2\widetilde{\times}S^3$ 的开书分解，提供一个关于闭合、定向3-流形光滑嵌入 $S^5$ 的经典结果的新几何证明。
• 展示可通过 $S^2$ 上具有平凡单值变换的圆盘丛中的柔性曲面构造开书嵌入。
• 表明此类嵌入与周围开书结构相容，保持绑定与页的分解结构。
• 通过将其与已知的嵌入定理和构造联系，拓展开书嵌入在接触拓扑与光滑拓扑中的应用。

提出的方法

• 通过将具有一个边界分量的曲面嵌入到 $S^2$ 上的圆盘丛（平凡单值变换）中，构造开书嵌入。
• 在 $S^3 \times \{1/2\}$ 中使用霍夫环面构造，将一个柔性曲面嵌入到圆盘丛 $\mathcal{D}E(1)$ 的零截面之外。
• 对曲面与霍夫环面执行环境连通和，得到 $\mathcal{D}E(1)$ 中的正则嵌入柔性曲面。
• 利用此类柔性曲面可实现其映射类群生成元的同伦变换，方法为借助霍夫环面。
• 将单值变换映射的典范丛嵌入到 $S^1 \times S^3 \times (0,1]$ 中，该空间微分同胚于 $\mathcal{D}E(1)$ 的零截面补集。
• 通过在边界上沿恒等映射将 $S^1 \times S^3 \times (0,1]$ 与 $S^3 \times D^2$ 粘合，构造出 $S^3 \times D^2$，从而在 $S^5$ 中实现完整的嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个闭合、定向的3-流形是否都能以圆盘丛为页、平凡单值变换的方式，开书嵌入到 $S^3 \times S^2$ 或 $S^2\widetilde{\times}S^3$ 中？
• RQ2 在 $S^2$ 上的圆盘丛中存在柔性曲面，是否能实现任意3-流形的开书嵌入？
• RQ3 能否利用开书嵌入重新证明经典结果：每个闭合、定向3-流形光滑嵌入于 $S^5$？
• RQ4 在4-流形中嵌入的曲面需满足何种拓扑条件，才能具备柔性性质并支持开书嵌入？
• RQ5 在 $S^3 \times S^2$ 和 $S^2\widetilde{\times}S^3$ 的圆盘丛中，欧拉数为偶数或奇数的选择如何影响开书嵌入结构？

主要发现

• 每个具有开书分解的闭合、定向3-流形，均可开书嵌入到任意 $S^3 \times S^2$ 的开书分解中，其页为 $S^2$ 上的圆盘丛且单值变换为平凡。
• 当页为 $S^2$ 上欧拉数为奇数的圆盘丛且单值变换为恒等映射时，该结果对 $S^2\widetilde{\times}S^3$ 同样成立。
• 该构造依赖于将具有一个边界分量的柔性曲面嵌入到 $\mathcal{D}E(1)$（即 $S^2$ 上具有平凡单值变换的圆盘丛）中。
• 单值变换映射的典范丛被正则嵌入到 $S^1 \times S^3 \times (0,1]$ 中，该空间微分同胚于 $\mathcal{D}E(1)$ 的零截面补集。
• 通过在边界上沿恒等映射将 $S^1 \times S^3 \times (0,1]$ 与 $S^3 \times D^2$ 粘合，所得流形微分同胚于 $S^3 \times D^2$，因此完整的3-流形可嵌入于 $S^5$。
• 该证明提供了一种全新的几何与拓扑构造方法，将任意闭合、定向3-流形嵌入 $S^5$，其方法与以往使用辫状嵌入或惠特尼浸入技术的证明截然不同。