[论文解读] Embeddings of derived categories of bornological modules

Ralf Meyer|ArXiv.org|Oct 28, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 34

一句话总结

本文建立了在何种条件下，弗雷歇代数 $ B $ 上的赋权模的导出范畴可全忠实嵌入其稠密子代数 $ A $ 的导出范畴中，使用赋权张量积与同调代数。关键结果是：当包含映射 $ A \to B $ 为同调同构时，此类嵌入为全忠实，该条件对非交换环面及具有多项式增长的群代数成立。

ABSTRACT

Let A be an algebra with a countable basis and let B be, say, a Frechet algebra that contains A as a dense subalgebra. This embedding induces a functor from the derived category of B-modules to the derived category of A-modules. In many important examples, this functor is fully faithful. We study this property in some detail, giving several equivalent conditions, examples, and applications. To prepare for this, we explain carefully how to do homological algebra with modules over bornological algebras. We construct the derived category of bornological left A-modules and some standard derived functors, with special emphasis on the adjoint associativity between the tensor product and the internal Hom functor. We also discuss the category of essential modules over a non-unital algebra and its functoriality.

研究动机与目标

• 发展赋权模的同调代数，包括导出范畴与导出函子。
• 定义并研究同调同构同态 $ A \to B $ 的概念，其中 $ A $ 是弗雷歇代数 $ B $ 的稠密子代数。
• 建立导出函子 $ D(B\text{-mod}) \to D(A\text{-mod}) $ 为全忠实的条件。
• 将该理论应用于计算非交换环面与群代数的霍赫希尔德同调与周期循环同调。
• 阐明丢番图逼近在预解算子增长中的作用及其对同调的影响。

提出的方法

• 利用赋权张量积与内 Hom 函子构造赋权左 $ A $-模的导出范畴。
• 引入 $ A $-平衡的完全赋权张量积 $ \hat{\otimes}_A $ 以定义 $ B $ 上的解析。
• 使用复形 $ B \hat{\otimes}_A P_\bullet \hat{\otimes}_A B $，其中 $ P_\bullet $ 为自由 $ A $-双模解析，以检验同调同构性。
• 将该理论应用于非交换环面 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) \to \mathcal{S}(\mathbb{T}^2_\theta) $，证明其为同调同构。
• 将解析复形的收缩性归约为群的几何性质，特别是多项式增长与幂零性。
• 分析 $ \mathbb{Z}^* $ 上 $ (1 - \exp(2\pi i \theta m))^{-1} $ 的增长，以确定 $ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 的霍赫希尔德同调何时与 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于赋权代数的稠密包含 $ A \to B $，何时有函子 $ D(B\text{-mod}) \to D(A\text{-mod}) $ 为全忠实？
• RQ2 在何种条件下，复形 $ B \hat{\otimes}_A P_\bullet \hat{\otimes}_A B $ 能解析 $ B $，即为同调同构？
• RQ3 对 $ \theta $ 的丢番图逼近如何影响 $ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 的霍赫希尔德同调？
• RQ4 在何种群论条件下，包含 $ \mathbb{C}[G] \to \mathcal{S}(G) $ 为同调同构？
• RQ5 为何周期循环同调能恢复与 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 相同的同调，而霍赫希尔德同调可能不同？

主要发现

• 包含 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) \to \mathcal{S}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 为同调同构，因此导出范畴嵌入为全忠实。
• 当且仅当 $ (1 - \exp(2\pi i \theta m))^{-1} $ 具有次指数增长时，$ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 的霍赫希尔德同调与 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 一致。
• 当 $ \theta $ 为无理数时，$ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 的同调在度数 0、1、2 分别为 $ \mathbb{C} $、$ \mathbb{C}^2 $、$ \mathbb{C} $，在更高度数处为零。
• 若预解算子呈指数增长，则 $ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 的霍赫希尔德同调在度数 0 和 1 处包含无限维非豪斯多夫分量。
• 由于规范不变性，$ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 的周期循环同调与 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ 一致。
• 若群 $ G $ 具有多项式增长或为可拼接群，则包含 $ \mathbb{C}[G] \to \mathcal{S}(G) $ 为同调同构，该结论通过大尺度几何与微分形式得到证明。