[论文解读] Empty Rectangles and Graph Dimension

Stefan Felsner|ArXiv.org|Jan 31, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文确定了由平面上 n 个一般位置点构成的矩形图的最大边数为 ⌊n²/4 + n − 2⌋，该结果在边仅连接能构成空轴对齐矩形的点对时达到。该结果通过正交曲面与四维多面体，将几何图论、偏序集维数及 Scarf 定理联系起来，揭示了使矩形图边数最大化与使 Scarf 复形中 1-维面数最大化的一致性。

ABSTRACT

We consider rectangle graphs whose edges are defined by pairs of points in diagonally opposite corners of empty axis-aligned rectangles. The maximum number of edges of such a graph on $n$ points is shown to be 1/4 n^2 +n -2. This number also has other interpretations: * It is the maximum number of edges of a graph of dimension $\bbetween{3}{4}$, i.e., of a graph with a realizer of the form $π_1,π_2,\ol{π_1},\ol{π_2}$. * It is the number of 1-faces in a special Scarf complex. The last of these interpretations allows to deduce the maximum number of empty axis-aligned rectangles spanned by 4-element subsets of a set of $n$ points. Moreover, it follows that the extremal point sets for the two problems coincide. We investigate the maximum number of of edges of a graph of dimension $\between{3}{4}$, i.e., of a graph with a realizer of the form $π_1,π_2,π_3,\ol{π_3}$. This maximum is shown to be $1/4 n^2 + O(n)$. Box graphs are defined as the 3-dimensional analog of rectangle graphs. The maximum number of edges of such a graph on $n$ points is shown to be $7/16 n^2 + o(n^2)$.

研究动机与目标

• 确定由能构成空轴对齐矩形的点对定义的矩形图中，n 个一般位置点的最大边数。
• 建立几何矩形图、偏序集维数（特别是维数 [3↓4]）与正交曲面上 Scarf 定理之间的联系。
• 刻画使矩形图边数与 Scarf 复形中 1-维面数均最大化的极值点集。
• 将结果推广至三维长方体图，并分析其边密度。

提出的方法

• 通过仅当开内部不包含其他点时，定义矩形图中连接点对的边，即点对所跨越的矩形为轴对齐且内部为空。
• 利用组合几何与对偶性，将空矩形与源自四维多面体的 Scarf 复形中的 1-维面联系起来。
• 应用欧拉-庞加莱公式，并对四维多面体的面数进行双重计数，推导出 span₂(X)、span₃(X)、span₄(X) 与 exposed(X) 之间的线性关系。
• 引入广义空矩形（允许边无界）以计数 Scarf 复形中的 1-维面与 3-维面，并通过暴露点校正重复计数。
• 利用悬点与正交包络（ortho-hulls）的概念，建模无界矩形的延伸，推导面数。
• 将三维长方体图视为矩形图的三维类比，推导出边数上界为 7n²/16 + o(n²)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于平面上 n 个一般位置点构成的矩形图，当边对应于能构成空轴对齐矩形的点对时，其最大边数是多少？
• RQ2 大小为 2、3 和 4 的空矩形数量与点集中正交暴露点数之间有何关系？
• RQ3 维数为 [3↓4] 的矩形图与 Scarf 复形的面结构之间有何联系？
• RQ4 使矩形图边数最大化的极值构型与四维多面体的面结构有何关联？
• RQ5 定义为与矩形图类比的三维长方体图，其最大边数是多少？

主要发现

• n 个一般位置点构成的矩形图的最大边数恰好为 ⌊n²/4 + n − 2⌋，且该界是紧的。
• 该界同样适用于维数 [3↓4] 的图，即具有形如 π₁, π₂, π₃, ḡπ₃ 的实现实例。
• 与点集相关的 Scarf 复形中 1-维面的数量等于 ⌊n²/4 + n − 2⌋，表明了几何结构与代数结构之间的直接对应。
• 当同一组极值点集使矩形图边数最大时，形成空矩形的 4 元子集数量（span₄(X)）也达到最大。
• n 个点构成的三维长方体图的最大边数为 7n²/16 + o(n²)，其边密度高于二维情形。
• 对所有一般位置点集，恒等式 span₂(X) − span₄(X) + exposed(X) = 3(n−1) 与 2·span₂(X) − span₃(X) + exposed(X) = 4(n−1) 成立。