[论文解读] Energy transfer and position measurement in quantum mechanics

J. C. Ye, Sen Kuang+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Quantum Mechanics and Applications被引用 11

一句话总结

本文认为，在量子位置测量中使用矩形波函数近似狄拉克δ函数在物理上存在缺陷，因为这会导致测量过程中能量无限传递。相反，本文提出使用具有尖锐峰的连续可平方可积函数作为更合适的物理近似，表明在单缝位置测量中，只有狭缝势能的基态具有物理意义，这是由于其扰动最小且能量约束严格。

ABSTRACT

The Dirac delta function can be defined by the limitation of the rectangular function covering a unit area with decrease of the width of the rectangle to zero, and in quantum mechanics the eigenvectors of the position operator take the form of the delta function. When discussing the position measurement in quantum mechanics, one is prompted by the mathematical convention that uses the rectangular wave function of sufficiently narrow width to approximate the delta function in order to making the state of the position physical. We argue that such an approximation is improper in physics, because during the position measurement the energy transfer to the particle might be infinitely large. The continuous and square-integrable functions of both sharp peak and sufficiently narrow width can then be better approximations of the delta function to represent the physical states of position. When the slit experiment is taken as an apparatus of position measurement, no matter what potential is used to model the slit, only the ground state of the slit-dependent wave function matters.

研究动机与目标

• 识别在量子位置测量中使用矩形波函数近似狄拉克δ函数时存在的物理不一致之处。
• 证明此类近似会导致测量过程中出现非物理的无限能量传递，违反能量守恒定律。
• 提出具有尖锐峰的连续可平方可积函数作为物理位置态的更优近似。
• 阐明在用作位置测量装置的单缝实验中，只有狭缝势能的基态具有实际意义，原因在于其扰动最小。
• 确立测量装置的分辨能力由近似函数的陡峭程度决定，而非其具体函数形式。

提出的方法

• 使用宽度ε逐渐减小的矩形函数极限来近似狄拉克δ函数，并分析其对能量与动量不确定性的含义。
• 计算由矩形函数近似的态中的能量期望值，显示当ε → 0时该值发散。
• 应用海森堡不确定性原理，推导出单缝宽度为a时的动量不确定性δpx ≈ h/a。
• 将单缝衍射装置视为位置测量装置，重点分析基态波函数在最小扰动中所起的作用。
• 推导测量过程中的能量传递ΔE ≈ ħ²/(4mε²)，表明当ε → 0时其发散。
• 通过将δ函数展开为能量本征态，表明由于非可归一化性，总概率与能量期望值均发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在位置测量中常规使用矩形函数近似狄拉克δ函数在物理上不一致？
• RQ2 此类近似在测量过程中的能量传递方面会产生何种物理后果？
• RQ3 不确定性原理如何限制位置测量中的分辨能力与扰动程度？
• RQ4 为何在单缝位置测量中只有狭缝势能的基态具有物理意义？
• RQ5 哪一类函数能为位置态提供比矩形函数更优的物理近似？

主要发现

• 使用矩形函数χε(x−x₀)近似狄拉克δ函数会导致能量期望值发散，因此在物理上不可行。
• 通过此类近似进行位置测量时，能量传递ΔE ≈ ħ²/(4mε²)随ε → 0而发散，趋于无穷大。
• 单缝实验中动量不确定性δpx ≈ h/a与能量发散一致，表明测量精度存在根本性限制。
• 在狭缝势能的x依赖波函数中，只有基态对位置测量有实际贡献，因为高激发态会增加不确定性并违反测量中最小扰动的要求。
• 具有尖锐峰的连续可平方可积函数比矩形函数更适合作为δ函数的物理近似，因其可避免无限能量传递。
• 测量装置的分辨能力由近似函数的陡峭程度决定，而非其具体函数形式。