[论文解读] Entanglement Entropy and the Fermi Surface

Brian Swingle|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Aug 12, 2009

Quantum many-body systems被引用 17

一句话总结

本文通过将低能激发映射为沿局域费米速度方向传播的一系列手征性 1+1D 模式，为具有费米面的自由费米子中纠缠熵的异常 $ L^{d-1} \log L $ 标度提供了直观的场论解释。关键结果是，对数修正项源于垂直穿过实空间边界的有效模式数量，该数量由涉及实空间法向与费米面法向点积的维多姆公式量化。

ABSTRACT

Free fermions with a finite Fermi surface are known to exhibit an anomalously large entanglement entropy. The leading contribution to the entanglement entropy of a region of linear size $L$ in $d$ spatial dimensions is $S\sim L^{d-1} \log{L}$, a result that should be contrasted with the usual boundary law $S \sim L^{d-1}$. This term depends only on the geometry of the Fermi surface and on the boundary of the region in question. I give an intuitive account of this anomalous scaling based on a low energy description of the Fermi surface as a collection of one dimensional gapless modes. Using this picture, I predict a violation of the boundary law in a number of other strongly correlated systems.

研究动机与目标

• 理解具有费米面的自由费米子中 $ L^{d-1} \log L $ 纠缠熵标度的起源。
• 利用低能有效模式，提供该异常标度的物理直观图像。
• 将纠缠熵的维多姆公式与费米面上手征性 1+1D 模式的物理联系起来。
• 将该直觉推广，以预测其他强关联系统中的边界律违反现象。

提出的方法

• 将费米面附近的低能费米子激发映射为沿局域费米速度方向传播的手征性 1+1D 模式。
• 将费米面上每一点视为一个具有线性色散关系和固定手性的无能隙模式的源。
• 利用实空间边界元与费米面法向，通过 $ |n_x \cdot n_k| $ 计算垂直穿过边界的有效模式数量。
• 对所有边界元与费米面元素进行积分，累加所有手征性模式的纠缠贡献。
• 通过引入 $ 1/2 $ 因子避免区间重复计数，与 1D CFT 结果一致。
• 推导出完整的纠缠熵公式：$ S \sim \frac{1}{6} \frac{\log L}{2} \int \int \frac{dA_x dA_k}{(2\pi)^{d-1}} |n_x \cdot n_k| $，与维多姆公式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何具有费米面的自由费米子的纠缠熵标度为 $ L^{d-1} \log L $ 而非标准的 $ L^{d-1} $ 边界律？
• RQ2 手征性 1+1D 模式图像如何解释纠缠熵中的对数修正项？
• RQ3 维多姆公式中 $ |n_x \cdot n_k| $ 因子的物理意义是什么？
• RQ4 该有效模式图像能否预测其他强关联系统中的边界律违反现象？
• RQ5 在费米面出现的量子临界点附近，纠缠熵如何行为？

主要发现

• 异常的 $ L^{d-1} \log L $ 标度源于一个费米面量级的手征性 1+1D 模式的集体贡献。
• 纠缠熵由垂直穿过实空间边界的有效模式数量决定，该数量由 $ |n_x \cdot n_k| $ 加权。
• 完整公式重现了具有清晰费米面的自由费米子中纠缠熵的维多姆猜想。
• 该理论预测，任何具有大量无能隙 1+1D 手征性模式的系统都将违反边界律。
• 对数修正项的增长速度快于非普遍的边界律项，使其在数值模拟中可被探测到。
• 该结果表明，由于其纠缠结构，张量网络方法可能在该类系统中失效，而精确对角化可能更为合适。