[论文解读] Entanglement Entropy, Chemical Potential, Current Source, and Wilson Loop

Bom Soo Kim|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Quantum many-body systems参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过 $\bbZ_n$ 群 orbifold 顶点算符的相关函数，解析计算了在背景化学势、电流源和威尔逊环下，环面上二维狄拉克费米子的纠缠熵与 R\'enyi 熵。关键结果为：纠缠熵在离散的威尔逊环值 $w = 2p - 1$ 处表现出拓扑相变，具有非单调行为，并依赖于化学势引起的能级对齐，而在大半径极限下对 $\beta$-相关参数保持不变。

ABSTRACT

We construct and analytically compute entanglement and the Rényi entropies of Dirac fermions on a 2 dimensional torus in the presence of background chemical potential, current source and Wilson loop, by employing correlation functions of the electromagnetic vertex operators of $\mathbb{Z}_n$ orbifold theory. The entropies reveal numerous novelties. They probe the energy levels of compact fermions through the chemical potential, demonstrate interference phenomena with the current source being `beat frequency,' and experience topological phase transitions by dialing the Wilson loop, in the low temperature limit. In the large radius limit, they depend only on the Wilson loop via topological transitions, which are tightly linked to conformal dimension of the electromagnetic operators.

研究动机与目标

• 开发一种通用的解析框架，用于计算在外部规范场和拓扑背景下的二维狄拉克费米子的纠缠熵与 R\'enyi 熵。
• 研究化学势、电流源与威尔逊环在低温与大半径极限下对纠缠结构的影响。
• 阐明电磁顶点算符的共形维数在决定纠缠熵中拓扑相变的作用。
• 通过揭示熵对化学势与电流源存在非平凡依赖关系，解决先前结果中关于其独立性的矛盾。
• 推广 R\'enyi 与纠缠熵在无限与大系统中对拓扑威尔逊环的依赖性，扩展先前关于拓扑不变性的结果。

提出的方法

• 利用复制技巧与 $\bbZ_n$ 群 orbifold 理论中电磁顶点算符 $\sigma_{w,k}$ 的相关函数，计算 R\'enyi 熵。
• 采用共形场论技术，通过雅可比 theta 函数 $\vartheta_1$ 与戴德金 eta 函数 $\eta(\tau)$ 表达纠缠熵。
• 推导出 R\'enyi 熵为 $S_{w,n}^0 = D_{w,n} \log\left| \frac{2\pi\eta(\tau)^3}{\vartheta_1(\ell_t/(2\pi L) \mid \tau)} \right|^2$，其中 $D_{w,n}$ 编码了威尔逊环与拓扑相变效应。
• 通过在热迹中引入 $\cosh(l\beta\mu)/\sinh(l\beta/2)$ 因子，将化学势 $\mu$ 与电流源 $J$ 纳入，定义依赖于自旋结构的熵 $S_{w,n}^{\mu J}$。
• 通过计算互信息 $I_n(A,B) = S_n(A) + S_n(B) - S_n(A\cup B)$，分离出无紫外发散的拓扑与规范依赖贡献。
• 通过模参数 $\alpha = 2\pi\tau_1$ 分析相变，其中 $w$-相关的 $\alpha_{w,k}$ 值在 $w = (2p-1)\pi/n$ 处触发 $D_{w,n}$ 的阶梯式变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低温极限下，化学势与电流源如何影响环面上二维狄拉克费米子的纠缠熵？
• RQ2 威尔逊环在诱导纠缠熵中的拓扑相变中起什么作用？这与顶点算符的共形维数有何关联？
• RQ3 为何纠缠熵对化学势表现出非平凡依赖，而先前结果声称其独立？这一矛盾如何在无限系统极限下调和？
• RQ4 大半径极限如何影响熵对化学势、电流源与威尔逊环的依赖性？这对无限系统意味着什么？
• RQ5 互信息与 R\'enyi 熵在多大程度上共享对规范场与拓扑参数的相同函数依赖？

主要发现

• 纠缠熵对化学势 $\mu$ 表现出非平凡依赖，当 $\mu$ 与狄拉克费米子能级对齐时存在有限贡献，与先前声称的独立性相矛盾。
• R\'enyi 熵在电流源 $J$ 上表现出周期性行为，当模参数 $\alpha = 2\pi\tau_1$ 变化时，$J$ 作为“拍频”导致纠缠中的干涉图案。
• 在整数 $p$ 对应的离散威尔逊环值 $w = 2p - 1$ 处发生拓扑相变，纠缠熵在每个相变区间 $2p-1 \leq w < 2p+1$ 内呈阶梯式且非单调增加。
• 在大半径极限下，熵仅通过 $D_{w,n}$ 依赖于威尔逊环 $w$，$\mu$ 与 $J$ 的依赖关系被抑制为 $\mathcal{O}(\ell_t/(2\pi L))^2$，支持了无限系统中区间熵与 $\mu$ 无关的结论。
• 依赖于自旋结构的熵 $S_{w,n}^{\mu J}$ 在 $w$-相关项 $p \cos(\ell_t l(w - 2p\pi)/(2\pi L))$ 中表现出对 $p$ 的线性依赖，驱动 $w$ 增加时熵的阶梯式上升。
• 互信息与熵共享相同的 $\mu$、$J$ 与 $w$ 依赖函数形式；对于反周期费米子，其与区间间距无关，表明具有拓扑鲁棒性。