[论文解读] Entanglement Entropy of U(1) Quantum Spin Liquids

Michael Pretko, T. Senthil|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Oct 13, 2015

Quantum many-body systems被引用 8

一句话总结

本文研究了(3+1)维U(1)量子自旋液体的纠缠熵，这是一种由无禁闭U(1)规范场论描述的无能隙态，具有无能隙光子和能隙物质。利用Bisognano-Wichmann定理和局域热近似，识别出纠缠熵中两个普遍的次领头项贡献：一个来自无能隙光子的对数项（源于低能共形场论），另一个来自电通量约束的独立对数项，该结果将拓扑纠缠熵推广至无能隙系统。

ABSTRACT

We here investigate the entanglement structure of the ground state of a (3+1)-dimensional U(1) quantum spin liquid, which is described by the deconfined phase of a compact U(1) gauge theory. A gapless photon is the only low-energy excitation, with matter existing as deconfined but gapped excitations of the system. It is found that, for a given bipartition of the system, the elements of the entanglement spectrum can be grouped according to the electric flux between the two regions, leading to a useful interpretation of the entanglement spectrum in terms of electric charges living on the boundary. The entanglement spectrum is also given additional structure due to the presence of the gapless photon. Making use of the Bisognano-Wichmann theorem and a local thermal approximation, these two contributions to the entanglement (particle and photon) are recast in terms of boundary and bulk contributions, respectively. Both pieces of the entanglement structure give rise to universal subleading terms (relative to the area law) in the entanglement entropy, which are logarithmic in the system size (log L), as opposed to the subleading constant term in gapped topologically ordered systems. The photon subleading logarithm arises from the low-energy conformal field theory and is essentially local in character. The particle subleading logarithm arises due to the constraint of closed electric loops in the wavefunction and is shown to be the natural generalization of topological entanglement entropy to the U(1) spin liquid. This contribution to the entanglement entropy can be isolated by means of the Grover-Turner-Vishwanath construction (which generalizes the Kitaev-Preskill scheme to three dimensions).

研究动机与目标

• 理解无能隙U(1)量子自旋液体的纠缠结构，尽管其在3+1D中具有物理稳定性，但尚缺乏完整的理论框架。
• 确定是否存在类似于拓扑纠缠熵的长程纠缠普遍特征，存在于无能隙自旋液体中。
• 分离并表征无能隙光子和受约束电通量对纠缠熵的贡献，超越面积律。
• 利用Grover-Turner-Vishwanath构造将Kitaev-Preskill方案推广至三维，以提取拓扑对数项。

提出的方法

• 通过系统二分法分析纠缠谱，并按边界处的电通量对态进行分组，将其解释为边界电荷。
• 应用Bisognano-Wichmann定理，将无能隙光子的纠缠建模为边界上的热态，从而获得普遍的对数贡献。
• 使用局域热近似，将纠缠熵的贡献分离为体（光子）和边界（粒子）两部分。
• 采用Grover-Turner-Vishwanath构造，从粒子区分离出拓扑对数项，将Kitaev-Preskill方案推广至三维。
• 对波函数分布执行傅里叶积分方法以计算次领头对数项，并通过正则化避免U(1)情况下的发散。
• 考虑精细调节的波函数，其通量分布的傅里叶变换表现出非二次行为（例如η > 2），导致对数标度发生修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 无能隙U(1)量子自旋液体是否在纠缠熵中表现出类似于能隙拓扑序系统中常数项的普遍次领头对数修正？
• RQ2 波函数中无能隙光子和受约束电通量的贡献如何分别影响纠缠熵？
• RQ3 拓扑纠缠熵概念能否推广至无能隙系统？若能，其与能隙情况有何不同？
• RQ4 在电场成本趋于零的极限下，正则化在提取有限纠缠熵中的作用是什么，特别是在U(1)规范场论中？
• RQ5 在大n极限下，离散Z_n规范理论与U(1)规范理论在纠缠熵标度上是否存在关键差异？

主要发现

• 3+1D U(1)量子自旋液体的纠缠熵在系统尺寸L上表现出一个普遍的对数次领头项，具体为−(d−1)/2 log L，其源于无能隙光子的共形场论行为。
• 第二个普遍的对数贡献项，同样为−(d−1)/2 log L，源于电通量线必须闭合的约束，该结果将拓扑纠缠熵推广至无能隙系统。
• 光子贡献具有局域特性，源于低能CFT；而粒子贡献具有非局域性，与闭合电通量环的拓扑结构相关。
• 通过Grover-Turner-Vishwanath构造，成功将电通量约束的次领头对数项分离出来，该方法将Kitaev-Preskill方案推广至三维。
• 在U(1)情况下，若电场成本被调节至零，纠缠熵会发散，因此需要正则化；而离散Z_n规范理论中拓扑熵仍保持有限。
• 对于具有非二次傅里叶变换行为（例如η > 2）的精细调节波函数，对数标度变为−(d−1)/η log L，表明指数η可被调节以改变普遍对数修正。