[论文解读] Entanglement in non-unitary quantum critical spin chains

Romain Couvreur, Jesper Lykke Jacobsen+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Nov 25, 2016

Quantum many-body systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一套几何与代数框架，用于在具有量子群或超群对称性的非幺正量子临界自旋链中定义Rényi熵，基于左、右本征态及源自环模型的迹定义。该框架建立了涉及有效中心电荷的纠缠熵标度律，将其与有理极小模型中的标准中心电荷区分开来，并在非幺正情形（如渗透问题的$sl(2|1)$自旋链）下提供了统一的定义。

ABSTRACT

Entanglement entropy has proven invaluable to our understanding of quantum criticality. It is natural to try to extend the concept to non-unitary quantum mechanics, which has seen growing interest from areas as diverse as open quantum systems, non-interacting electronic disordered systems, or non-unitary conformal field theory (CFT). We propose and investigate such an extension here, by focussing on the case of one-dimensional quantum group symmetric or supergroup symmetric spin chains. We show that the consideration of left and right eigenstates combined with appropriate definitions of the trace leads to a natural definition of Rényi entropies in a large variety of models. We interpret this definition geometrically in terms of related loop models and calculate the corresponding scaling in the conformal case. This allows us to distinguish the role of the central charge and effective central charge in rational minimal models of CFT, and to define an effective central charge in other, less well understood cases. The example of the $sl(2|1)$ alternating spin chain for percolation is discussed in detail.

研究动机与目标

• 将纠缠熵的概念从幺正量子力学推广至非幺正系统，特别是具有非厄米哈密顿量的临界自旋链。
• 解决当左、右基态不同时，密度矩阵与熵的定义中存在的歧义，以及算符内容依赖于边界条件的问题。
• 通过环模型与库仑气体表示，在非幺正共形场论中，基于几何与代数方法定义Rényi熵。
• 区分有理极小模型中中心电荷$c$与有效中心电荷$c_{\rm eff}$的作用，并在理解不足的情形下定义$c_{\rm eff}$。
• 将该框架应用于物理上重要的模型，如用于渗透问题的$sl(2|1)$交替自旋链，以及用于量子霍尔效应平台跃迁的$gl(2|2)$链。

提出的方法

• 通过非厄米哈密顿量的左、右本征态定义Rényi熵，并结合一种修改后的迹运算，确保在非幺正情形下的自洽性。
• 通过Temperley-Lieb代数与RSOS格点模型将自旋链映射到环模型，从而为纠缠熵标度提供几何解释。
• 利用库仑气体表示与顶点算符插入，计算$N$重复制模型的配分函数，以捕捉拓扑与边界贡献。
• 通过分析配分函数比$Z_N / Z_1^N$中的主导对数项与次对数项，推导出在共形极限下Rényi熵的标度行为。
• 将形式化方法应用于紧致（有理极小模型）与非紧致（Liouville理论）CFT，包括在$m \to \infty$极限下恢复$c=1$的Liouville理论。
• 通过Affleck-Ludwig边界熵考虑边界条件，表明Rényi熵中的$O(1)$项与$\ln g_{\rm boundary}$一致，从而验证了该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿量非厄米且左、右基态不同的非幺正量子临界自旋链中，如何一致地定义纠缠熵？
• RQ2 在非幺正共形场论中，$c/3 \ln L$标度律的正确推广形式是什么？
• RQ3 在非幺正极小模型中，标准中心电荷$c$与有效中心电荷$c_{\rm eff}$在Rényi熵标度中的作用有何不同？
• RQ4 基于环模型与量子群对称性的几何与代数框架，能否为非幺正系统提供一致的纠缠熵定义？
• RQ5 在非紧致CFT（如$c=1$的Liouville理论）中，纠缠熵的标度行为如何？与紧致模型有何区别？

主要发现

• 在$c=1$的Liouville理论中，非幺正临界自旋链的Rényi熵标度为$S^{(N)} = \frac{N+1}{6N} \ln L - \frac{1}{2} \ln(\ln L)$，其中次领头项$\ln(\ln L)$源于非紧致自由度。
• 对于有理极小模型，纠缠熵标度为$S_A \approx \frac{c_{\rm eff}}{3} \ln(L/a)$，其中$c_{\rm eff}$为有效中心电荷，与先前结果一致，并且现可从几何环模型框架中推导得出。
• Rényi熵中的$O(1)$常数项与边界简并因子$g_{\rm boundary}$的对数一致，证实了在环模型构造中与Affleck-Ludwig边界熵的一致性。
• 该框架即使在某些超对称模型中配分函数$Z=1$时，也能成功定义非平凡的纠缠熵。
• 该方法明确区分了$c$与$c_{\rm eff}$的作用：当使用修改迹定义时，$c$出现在主导项中，而$c_{\rm eff}$则控制极小模型中的标准标度行为。
• 对用于渗透问题的$sl(2|1)$交替自旋链进行了详细处理，表明该形式化方法可得到一致且物理上合理的纠缠熵标度。