[论文解读] Entanglements and compound states in quantum information theory

V. P. Belavkin, Masanori Ohya|ArXiv.org|Apr 18, 2000

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文提出了一种对复合量子系统中量子纠缠的精细化分类，区分了 d-纠缠（经典-量子耦合）、o-纠缠（可分态）和 q-纠缠（真正的量子纠缠）。研究证明，无噪声量子信道的 q-容量——定义为所有量子纠缠下互信息的上确界——受限于输入冯诺依曼代数维度的对数，该容量可将通过 d-纠缠实现的经典容量翻倍。

ABSTRACT

Quantum entanglements, describing truly quantum couplings, are stu died and classified from the point of view of quantum compound states. We show that c lassical-quantum correspondences such as quantum encodings can be treated as d-entanglements leading to a special class of the separable compound states. The mutual information of the d-compound and entangled states lead to two di fferent types of entropies for a given quantum state: the von Neumann entrop y, which is achieved as the supremum of the information over all d-entanglem ents, and the dimensional entropy, which is achieved at the standard entangl ement, the true quantum entanglement, coinciding with a d-entanglement only in the commutative case. The q-capacity of a quantum noiseless channel, defi ned as the supremum over all entanglements, is given as the logarithm of the dimensionality of the input von Neumann algebra. It can double the classical capacity, achieved as the supremum over all semi-quantum couplings (d-entang lements, or encodings), which is bounded by the logarithm of the dimensional ity of a maximal Abelian subalgebra.

研究动机与目标

• 提供超越标准可分态与纠缠态形式的更精细的量子纠缠态数学分类。
• 分析不同类型复合量子态的信息内容，特别是互信息和熵方面。
• 阐明冯诺依曼熵（半经典）与由真正量子纠缠产生的新型“维度熵”（准熵）之间的区别。
• 将量子信道的 q-容量定义为所有量子耦合下互信息的上确界，并与经典和半经典容量进行比较。
• 证明最大互信息在极端纠缠态下实现，特别是边际一致的标准纠缠态。

提出的方法

• 引入三种纠缠类型：d-纠缠（经典探测器耦合）、o-纠缠（通过正交分解实现的可分态）以及 q-纠缠（探测系统自身极端纠缠实现的真正量子纠缠）。
• 使用冯诺依曼熵定义复合态的互信息，并将其应用于不同纠缠类别，以比较其信息含量。
• 利用施瓦茨分解和极大阿贝尔子代数，表征 d-纠缠下互信息的上确界，将其与经典熵联系起来。
• 推导出 q-容量为所有 q-纠缠下互信息的上确界，证明其等于 $\ln \dim \mathcal{A} $，即冯诺依曼代数 $\mathcal{A}$ 维数的对数。
• 应用具有相同边际的标准纠缠态（准复合态）以实现最大互信息，定义准熵 $S_q(\varrho)$。
• 证明对于确定性信道，当使用 o-纠缠时，互信息 $I(\varrho_0, \Lambda)$ 等于冯诺依曼熵 $S(\varrho_0)$；当使用 q-纠缠时，等于准熵 $S_q(\varrho_0)$，且 $C_q(\Lambda) = \ln \dim \mathcal{A}^\circ$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复合量子系统中，d-纠缠（经典-量子耦合）、o-纠缠（可分态）和 q-纠缠（真正量子纠缠）之间的信息差异是什么？
• RQ2 冯诺依曼熵与新定义的准熵（维度熵）如何与量子信道中的互信息相关联？
• RQ3 量子无噪声信道的 q-容量是否可以超过通过 d-纠缠实现的经典容量？若是，其倍数为多少？
• RQ4 在何种条件下，所有纠缠态下互信息的最大值被实现？何种纠缠态实现了这一最大值？
• RQ5 q-容量 $C_q(\Lambda)$ 与输入冯诺依曼代数 $\mathcal{A}$ 的维度之间存在何种关系？

主要发现

• 无噪声量子信道的 q-容量为 $C_q(\Lambda) = \ln \dim \mathcal{A}^\circ$，即所有量子纠缠下互信息的上确界，其值可为通过 d-纠缠实现的经典容量的两倍。
• 通过 d-纠缠实现的经典容量 $C(\Lambda)$ 受限于 $\ln \mathrm{rank}\, \mathcal{A}^\circ$，当 $\mathcal{A}^\circ$ 为非阿贝尔且有限维时，其严格小于 $C_q(\Lambda)$。
• 对于确定性信道，当使用 o-纠缠时，互信息 $I(\varrho_0, \Lambda)$ 等于冯诺依曼熵 $S(\varrho_0)$；当使用 q-纠缠时，等于准熵 $S_q(\varrho_0)$。
• 最大互信息在标准纠缠态（准复合态）下实现，该态仅在阿贝尔情形或当态为纯态时为 o-纠缠。
• 准熵 $S_q(\varrho_0)$（定义为 $H_{\mathcal{A}^\circ}(\varrho_0)$）在 $\mathcal{A}^\circ$ 非阿贝尔且 $\varrho_0$ 混合时，严格大于冯诺依曼熵 $S(\varrho_0)$，从而确立其为真正的量子熵。
• 在有限维情形下，q-容量 $C_q(\Lambda)$ 在正规迹态上实现，且与冯诺依曼代数 $\mathcal{A}^\circ$ 维数的对数一致。