[论文解读] Entropic Measure and Wasserstein Diffusion

Max‐K. von Renesse, Karl‐Theodor Sturm|ArXiv.org|Apr 5, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过将相对熵作为哈密顿量，在圆周和单位区间上的概率测度空间上构造了一类吉布斯型熵测度，建立了其在光滑微分同胚下的准不变性。文中引入了 Wasserstein 空间上的两种扩散过程：一种与马利阿文的布朗运动相关，另一种作为扰动热流的典型概率测度扩散，其内在度量由 $L^2$-Wasserstein 距离给出。

ABSTRACT

We construct a new random probability measure on the sphere and on the unit interval which in both cases has a Gibbs structure with the relative entropy functional as Hamiltonian. It satisfies a quasi-invariance formula with respect to the action of smooth diffeomorphism of the sphere and the interval respectively. The associated integration by parts formula is used to construct two classes of diffusion processes on probability measures (on the sphere or the unit interval) by Dirichlet form methods. The first one is closely related to Malliavin's Brownian motion on the homeomorphism group. The second one is a probability valued stochastic perturbation of the heat flow, whose intrinsic metric is the quadratic Wasserstein distance. It may be regarded as the canonical diffusion process on the Wasserstein space.

研究动机与目标

• 在当前尚未建立自然 Riemann 几何测度的 $\mathcal{P}(M)$ 空间上，构造一个自然的 Riemann 几何体积测度，尽管 $({\mathcal{P}}(M), d_W)$ 已具有几何结构。
• 通过 Dirichlet 型形式与分部积分法，为 $\mathcal{P}(M)$ 上的随机与分析计算建立严格框架。
• 在 $\mathcal{P}(M)$ 上定义一个内在几何由二次 Wasserstein 距离决定的典型扩散过程。
• 建立熵测度在光滑微分同胚下的准不变性公式，从而实现不变扩散的构造。

提出的方法

• 通过逆分布函数 $g_\mu$ 表示概率测度，将问题转化为在 $L^2([0,1])$ 中的非减函数空间上构造测度 $\mathbb{Q}_0^\beta$。
• 形式上定义熵测度 $\mathbb{P}^\beta$ 为 $d\mathbb{P}^\beta(\mu) = \frac{1}{Z_\beta} e^{-\beta \cdot \text{Ent}(\mu)} d\mathbb{P}(\mu)$，其中 $\text{Ent}(\mu)$ 作为哈密顿量。
• 证明 $\mathbb{P}^\beta$ 在光滑微分同胚 $h$ 的前推下具有准不变性，得到变量变换公式，包含两项：$X_h^\beta$（与熵相关）和 $Y_h^0$（几何雅可比行列式）。
• 利用由准不变性导出的分部积分公式，在 $\mathcal{P}(M)$ 上构造两类 Dirichlet 型形式，从而导出扩散过程。
• 通过鞅问题刻画 Wasserstein 扩散：$M_t = \langle\alpha, \mu_t\rangle - \frac{\beta}{2}\int_0^t \langle\alpha'' , \mu_s\rangle ds - \text{校正项}$ 是一个连续局部鞅，其二次变差为 $\int_0^t \langle(\alpha')^2, \mu_s\rangle ds$。
• 建立 Varadhan 型短时间渐近公式：$\lim_{t\to 0} t \log p_t(A,B) = -\frac{d_W(A,B)^2}{2}$，确认 Wasserstein 距离为内在度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在使用相对熵作为哈密顿量的一维流形上概率测度空间上，构造出自然且准不变的 Gibbs 测度？
• RQ2 该测度是否支持一个在 $\mathcal{P}(M)$ 上的典型扩散过程，其内在度量为 $L^2$-Wasserstein 距离？
• RQ3 在基空间的光滑微分同胚下，熵测度的精确变量变换公式为何？
• RQ4 Wasserstein 扩散与已知的测度值扩散（如超布朗运动或 Fleming-Viot 过程）有何关系？
• RQ5 能否通过 Varadhan 公式刻画扩散的短时间行为，使其由 Wasserstein 距离表征？

主要发现

• 在 $\mathcal{P}(S^1)$ 和 $\mathcal{P}([0,1])$ 上严格构造了熵测度 $\mathbb{P}^\beta$，其相对于参考测度的密度与 $e^{-\beta \cdot \text{Ent}(\mu)}$ 成正比。
• 测度 $\mathbb{P}^\beta$ 在光滑微分同胚 $h$ 下具有准不变性，Radon-Nikodym 导数为 $\frac{d\mathbb{P}^\beta(h_*\mu)}{d\mathbb{P}^\beta(\mu)} = X_h^\beta \cdot Y_h^0(\mu)$，其中 $X_h^\beta = \exp\left(\beta \int_{S^1} \log h'(t) d\mu(t)\right)$，而 $Y_h^0$ 反映了 $\mu$ 支撑中间隙的结构。
• Wasserstein 扩散过程 $\mu_t$ 通过一个鞅问题刻画，其漂移项为 $\frac{\beta}{2}\int_0^t \langle\alpha'', \mu_s\rangle ds$，校正项依赖于 $\mu_s$ 支撑的二阶导数与间隙。
• 鞅 $M_t$ 的二次变差为 $\int_0^t \langle(\alpha')^2, \mu_s\rangle ds$，确认扩散的内在几何由 $L^2$-Wasserstein 距离所决定。
• 短时间转移密度满足 Varadhan 公式：$\lim_{t\to 0} t \log p_t(A,B) = -\frac{d_W(A,B)^2}{2}$，证明 Wasserstein 距离是该过程的内在度量。
• 过程 $\mu_t$ 是热流的概率测度随机扰动，其生成元 $\mathbb{L}$ 仅通过漂移项 $\mathbb{L}_3$ 依赖于 $\beta$，且当 $\beta \to \infty$ 时有 $\frac{1}{\beta}\mathbb{L} \to \mathbb{L}_3$。