[论文解读] Entropic Mechanics

Vitaly Vanchurin|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 1

一句话总结

本文提出利用最小熵产生原理来建模具有隐藏守恒量的系统中的随机动力学，将问题转化为带有时间依赖拉格朗日乘子的变分框架。当转移矩阵对称或满足细致平衡条件，且系统处于近平衡态并具有大量守恒量时，动力学遵循带有拉格朗日乘子作为相位的薛定谔方程。

ABSTRACT

We consider a stochastic process which is (a) described by a continuous-time Markov chain on only short time-scales and (b) constrained to conserve a number of hidden quantities on long time-scales. We assume that the transition matrix of the Markov chain is given and the conserved quantities are known to exist, but not explicitly given. To study the stochastic dynamics we propose to use the principle of stationary entropy production. Then the problem can be transformed into a variational problem for a suitably defined action and with time-dependent Lagrange multipliers. We show that the stochastic dynamics can be described by a Schrodinger equation, with Lagrange multipliers playing the role of phases, whenever (a) the transition matrix is symmetric or the detailed balance condition is satisfied, (b) the system is not too far from the equilibrium and (c) the number of the conserved quantities is large.

研究动机与目标

• 使用熵产生原理对长时间尺度下具有隐藏守恒量的随机过程进行建模。
• 解决连续时间马尔可夫链中守恒量显式形式未知的挑战。
• 推导一种包含时间依赖拉格朗日乘子以实现约束的变分公式。
• 建立结果动力学可由薛定谔方程描述的条件。
• 阐明对称性、近平衡行为以及守恒量数量在实现类量子动力学中的作用。

提出的方法

• 应用最小熵产生原理，推导随机动力学的变分公式。
• 引入时间依赖的拉格朗日乘子，以在变分作用量中强制实现隐藏量的守恒。
• 定义一个适当构造的作用量泛函，结合转移矩阵动力学与约束项。
• 利用从作用量导出的欧拉-拉格朗日方程，获得随机演化方程。
• 假设转移矩阵对称或满足细致平衡，以简化动力学。
• 证明在近平衡条件下且守恒量数量较多时，动力学退化为带有相位类拉格朗日乘子的薛定谔方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有隐藏守恒量的随机过程的动力学可由薛定谔方程描述？
• RQ2 最小熵产生原理如何实现对约束随机动力学的变分公式推导？
• RQ3 当守恒量未显式已知时，时间依赖拉格朗日乘子在强制实现守恒律中起什么作用？
• RQ4 转移矩阵的对称性或细致平衡如何影响类量子动力学的出现？
• RQ5 守恒量数量与接近平衡的程度在实现薛定谔方程描述中具有何种意义？

主要发现

• 当转移矩阵对称或满足细致平衡时，随机动力学可由薛定谔方程描述。
• 变分公式中的拉格朗日乘子在作用上类似于量子力学中的相位。
• 推导基于系统未远离平衡态的假设。
• 必须存在大量守恒量，薛定谔方程描述才能出现。
• 变分方法成功地将约束随机动力学转化为可解的作用量框架。
• 最小熵产生原理提供了一种一致且有效的方法，用于建模具有隐藏守恒律的长时间尺度动力学。