[论文解读] Entropy and Emergence of Topological Dynamical Systems

Yong Gu Ji, Ercai Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文引入了在概率测度空间与紧子集超空间上诱导拓扑动力系统中的熵序概念，并证明其等于原系统的拓扑熵。本文建立了熵序与度量熵之间的变分原理，表明诱导系统的复杂性在数量上反映了原系统的动力学特性。

ABSTRACT

A topological dynamical system $(X,f)$ induces two natural systems, one is on the probability measure spaces and other one is on the hyperspace. We introduce a concept for these two spaces, which is called entropy order, and prove that it coincides with topological entropy of $(X,f)$. We also consider the entropy order of an invariant measure and a variational principle is established.

研究动机与目标

• 定义并分析在Borel概率测度空间与紧子集超空间上诱导系统的熵序。
• 建立一个变分原理，将不变测度的熵序与其度量熵联系起来。
• 阐明原系统复杂性与诱导系统复杂性之间的定量关系，特别是从拓扑熵的角度。
• 证明诱导系统的熵序精确等于原系统的拓扑熵，从而弥补了先前定性研究中的空白。

提出的方法

• 将系统的熵序定义为在弱*-拓扑下，覆盖遍历不变测度集合所需的最小ε-球数的增长率。
• 利用先前工作中提出的度量涌现与拓扑涌现概念，定义𝒫(X)和𝒦(X)上诱导系统的熵序。
• 通过将不变测度的熵序与度量熵联系起来，应用拓扑熵的变分原理。
• 利用遍历理论中的结果，包括遍历分解定理以及具有最大维数的不变测度的性质。
• 通过周期点与轨道集的分离与覆盖论证，从下方界定熵序。
• 通过动力系统理论与维数理论导出的上下界，建立熵序与拓扑熵的相等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在概率测度空间上诱导系统的熵序与原系统的拓扑熵之间有何关系？
• RQ2 能否在不变测度的熵序与其度量熵之间建立变分原理？
• RQ3 在紧子集超空间上诱导系统的熵序与原系统的拓扑熵之间有何关系？
• RQ4 在共形扩张动力系统或正拓扑熵系统等条件下，熵序的行为如何？
• RQ5 诱导系统的熵序在多大程度上反映了原动力系统的内在复杂性？

主要发现

• 在概率测度空间上诱导系统的熵序，记为ℰ(f_M)，等于原系统的拓扑熵：ℰ(f_M) = h_top(X,f)。
• 在紧子集超空间上诱导系统的熵序ℰ(f_K)也等于原系统的拓扑熵：ℰ(f_K) = h_top(X,f)。
• 建立了变分原理：不变测度μ的熵序等于其度量熵，即ℰ(μ) = h_μ。
• 对于盒维数为b的共形扩张排斥子Λ，诱导系统在𝒦(Λ)上的熵序满足lim_{ε→0} log log N(ε) / (-log ε) = b。
• 在具有规范性质的m个符号全移位系统中，典型轨道的点态熵序增长速率等于拓扑熵。
• 在紧子集超空间上诱导系统的熵序上界为底层面集的盒维数，且对于共形扩张系统，该上界是紧的。