[论文解读] Entropy and escape of mass for $SL(3,Z)\SL(3,R)$

Manfred Einsiedler, Shirali Kadyrov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文建立了在空间 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上的对角流下，测度论熵与质量逃逸之间的定量关系，证明对于 $\mathrm{T}$-不变概率测度，熵 $h_\mu(\mathrm{T})$ 满足上界 $3 - \mu(X_{\geq M}) + \varphi(M)$，其中 $\varphi(M) \to 0$ 当 $M \to \infty$。这导致在弱*极限中剩余质量的精确下界：对于熵 $h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \geq c$ 的序列，有 $\mu(X) \geq c - 2$，且当 $c \in (2,3)$ 时该界可达到。

ABSTRACT

We study the relation between measure theoretic entropy and escape of mass for the case of a singular diagonal flow on the moduli space of three-dimensional unimodular lattices.

研究动机与目标

• 理解非紧致齐性空间中测度论熵与质量逃逸之间的相互作用，特别是 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上对角流的情形。
• 将先前在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 情况下关于熵与质量逃逸的结果推广到更高秩的 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 设置。
• 基于基于最小向量和平面余体积的高函数，建立关于集合 $X_{\geq M}$ 测度的熵的精确上界，其中 $X_{\geq M}$ 由高度至少为 $M$ 的格组成。
• 证明对于熵下界为 $c$ 的 $\mathrm{T}$-不变概率测度序列，任意弱*极限必须保留至少 $c - 2$ 的质量，并表明该界是精确的。

提出的方法

• 作者在 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上定义了一个高函数 $\operatorname{ht}(x)$，其为最短向量长度与格平面最小余体积的最小值的倒数。
• 他们利用马勒紧致性准则，证明对所有 $M > 0$，集合 $X_{\leq M} = \{x \in X : \operatorname{ht}(x) \leq M\}$ 是紧致的，且任意紧致子集都包含于某个 $X_{\leq M}$ 中。
• 主要技术涉及分析对角变换 $\mathrm{T}(x) = x\alpha$ 的动力学，其中 $\alpha = \operatorname{diag}(e^{1/2}, e^{1/2}, e^{-1})$，并研究通过 $\mathrm{T}$ 的迭代导致的质量逃逸。
• 他们应用时间平均方法，使用在不稳定方向 $U^+$ 中维度 $d > \frac{4}{3}$ 的测度 $\nu$ 的经验测度 $\mu_N = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{T}^n_* \nu$，并利用 $\mathrm{T}^n$ 下 $X_{\geq M}$ 中测度增长的估计。
• 证明依赖于引理6.2中的关键估计，该估计界定了在迭代下逃逸至 $X_{\geq M}$ 的集合的测度，并利用 $\varphi(M) = O(\frac{\log \log M}{\log M})$ 的衰减来控制误差项。
• 他们应用 [7] 中关于豪斯多夫维数的结果，构造维度 $> \frac{4}{3}$ 的测度，并通过若过多质量逃逸则导致矛盾的论证，从而证明极限测度质量的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 上的 $\mathrm{T}$-不变概率测度 $\mu$，其测度论熵 $h_\mu(\mathrm{T})$ 的精确上界如何用集合 $X_{\geq M}$ 的测度表示？
• RQ2 序列的 $\mathrm{T}$-不变概率测度的熵在弱*极限中是否能控制逃逸的质量？
• RQ3 对于熵 $h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \geq c$ 的序列，弱*极限中 $\mu(X) \geq c - 2$ 的界是否精确？若是，能否显式构造出此类序列？
• RQ4 不稳定方向 $U^+$ 中测度的维数如何影响对角流 $\mathrm{T}$ 下的质量逃逸？
• RQ5 高函数 $\operatorname{ht}(x)$ 在量化格的几何结构及其从紧致集逃逸中的作用是什么？

主要发现

• 本文建立了对任意 $\mathrm{T}$-不变概率测度 $\mu$ 的不等式 $h_\mu(\mathrm{T}) \leq 3 - \mu(X_{\geq M}) + \varphi(M)$，其中 $\varphi(M) = O(\frac{\log \log M}{\log M})$ 且当 $M \to \infty$ 时 $\varphi(M) \to 0$，$\mathrm{T}$ 为沿 $\alpha = \operatorname{diag}(e^{1/2}, e^{1/2}, e^{-1})$ 的对角流。
• 对于任意满足 $h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \geq c$ 的 $\mathrm{T}$-不变概率测度序列 $\{\mu_i\}$，任意弱*极限 $\mu$ 满足 $\mu(X) \geq c - 2$，且该界是精确的：对任意 $c \in (2,3)$，存在一个序列满足 $h_{\mu_i}(\mathrm{T}) \to c$ 且 $\mu(X) = c - 2$。
• 在 $X$ 上关于哈尔测度的 $\mathrm{T}$ 的最大可能熵为 3，该值可被达到，并作为熵不等式中的上界。
• 当考虑 $U^+$ 方向中维度 $d > \frac{4}{3}$ 的测度时，作者证明时间平均测度 $\mu_N$ 的极限测度 $\mu$ 必须满足 $\mu(X) \geq \frac{3d - 4}{2}$，当 $d > \frac{4}{3}$ 时可改进为 $\mu(X) \geq \frac{3}{2}(d - \frac{4}{3})$。
• 该证明基于豪斯多夫测度的行为使用反证法：若极限测度的质量少于 $\frac{3d - 4}{2}$，则与维数假设及 $\mathrm{T}^n$ 下逃逸率的衰减相矛盾。
• 作者构造了一个反例，推翻了‘$U^+$ 中高维测度总是导致全质量极限’的观念，表明逃逸实际上受熵与维数权衡的控制，并证明 $\mu(X) \geq \frac{3d - 4}{2}$ 的界是最优的。