[论文解读] Entropy dimension of measure preserving systems

Dou Dou, Wen Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文通过熵生成序列引入了保测度系统中的熵维数，提出了一套组合框架，用于分析零熵系统的复杂性。定义了系统的维数集，并引入了均匀维数作为K-系统的推广，通过拼接分析和维数集证明了某些零熵系统之间的不相交性。

ABSTRACT

The notion of metric entropy dimension is introduced to measure the complexity of entropy zero dynamical systems. For measure preserving systems, we define entropy dimension via the dimension of entropy generating sequences. This combinatorial approach provides us with a new insight to analyze the entropy zero systems. We also define the dimension set of a system to investigate the structure of the randomness of the factors of a system. The notion of a uniform dimension in the class of entropy zero systems is introduced as a generalization of a K-system in the case of positive entropy. We investigate the joinings among entropy zero systems and prove the disjointness property among entropy zero systems using the dimension sets. Given a topological system, we compare topological entropy dimension with metric entropy dimension.

研究动机与目标

• 通过熵生成序列，为零熵动力系统的复杂性测量建立组合框架。
• 定义系统的维数集，以分析其因子的随机性结构。
• 在零熵情形下，引入均匀维数的概念，作为K-系统的有意义推广。
• 利用拼接理论和维数集，研究零熵系统之间的不相交性。
• 比较拓扑系统中拓扑熵维数与度量熵维数的关系。

提出的方法

• 通过熵生成序列的Hausdorff维数定义熵维数，这些序列是系统表现出正熵增长的路径。
• 利用自然密度为零的ℕ子集的维数概念，刻画系统中熵的增长速率。
• 将系统的维数集定义为其所有因子可能的熵维数的集合。
• 应用拼接理论分析零熵系统之间的不相交性，特别是通过维数集的不变性。
• 在拓扑系统中，建立度量熵维数与拓扑熵维数之间的联系。
• 利用熵生成序列证明某些系统具有特定的熵维数τ，借助对数熵不等式和测度论扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为零熵保测度系统以组合方式定义熵维数？
• RQ2 维数集在刻画此类系统因子的随机性与结构复杂性方面起什么作用？
• RQ3 均匀维数概念能否作为零熵情形下K-系统的有意义推广？
• RQ4 在何种条件下零熵系统彼此不相交，以及如何通过维数集检测这种不相交性？
• RQ5 在拓扑系统中，拓扑熵维数与度量熵维数之间有何关系？

主要发现

• 系统的熵维数被定义为其熵生成序列的Hausdorff维数，为分析复杂性提供了一种新的组合工具。
• 对于任意τ ∈ (0,1]，均存在熵维数为τ的保测度系统，且此类系统可构造为τ-均匀分布（τ-u.d.）。
• 系统的维数集捕捉了其因子可能熵维数的范围，且系统间的不相交性可由其维数集的不相交性推断。
• 本文证明：若一个系统为τ-u.d.，则其任意有限划分的熵维数均为τ，且存在某个维数为τ的序列(t_i)，使得沿该序列有liminf_{n→∞} (1/n) H_μ(∨_{i=1}^n T^{-t_i}α) > 0。
• 作者构造了一个零熵的1-均匀分布系统，表明均匀维数可独立于正熵定义。
• 该理论表明，在拓扑系统中，拓扑熵维数与度量熵维数是可比较的，从而将框架扩展至更广泛的动力系统设置。