[论文解读] Entropy for expansive algebraic actions of residually finite groups

Lewis Bowen|ArXiv.org|Sep 25, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文建立了残有限群的扩张主代数作用的索菲克熵的公式，证明该熵等于群环元素 f 的弗格莱德-凯迪森行列式的对数。该结果通过索菲克熵和渐近不变性技术，将先前关于可约群的结果推广至非可约残有限群。

ABSTRACT

We prove a formula for the sofic entropy of expansive principal algebraic actions of residually finite groups, extending recent work of Deninger and Schmidt.

研究动机与目标

• 计算残有限群的扩张主代数作用的索菲克熵。
• 通过索菲克熵将熵公式从可约群推广至非可约残有限群。
• 在代数动力系统的背景下，建立索菲克熵与弗格莱德-凯迪森行列式之间的联系。
• 在不依赖拓扑熵工具的前提下，为[DS07]中的主要结果提供一种替代证明。
• 当群为非可约时，证明此类作用具有强遍历性。

提出的方法

• 通过收敛于单位元的有限指数正规子群序列 {Γi} 定义索菲克熵。
• 利用从 X → A 到有限集合 A 的可测映射 φ，通过拉前测度之间的 l¹ 距离定义熵率。
• 应用生成可观测量的概念，并利用周期点上不变测度的弱*收敛。
• 利用 Γi 固定点集上哈尔测度的均匀分布，从下方估计熵。
• 利用周期点上均匀测度的拉前测度弱*收敛于哈尔测度的事实。
• 通过证明周期点的增长率对索菲克熵提供下界，从而证明关键不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 残有限群的扩张主代数作用的索菲克熵是什么？
• RQ2 在非可约情况下，索菲克熵如何与弗格莱德-凯迪森行列式相关联？
• RQ3 可约群的熵公式能否推广至非可约残有限群？
• RQ4 周期点在估计代数作用的索菲克熵中起什么作用？
• RQ5 当群为非可约时，该作用是否具有强遍历性？

主要发现

• 与 f ∈ ℤΓ 关联的扩张代数作用 Xf 的索菲克熵等于 log det(f)，其中 det(f) 为弗格莱德-凯迪森行列式。
• 该结果对任意残有限群 Γ 及任意满足 lim Γi = {e} 的有限指数正规子群序列 {Γi} 均成立。
• 熵公式可推广至可约群，为 [DS07] 中的主要结果提供了替代证明。
• 当 Γ 为非可约时，Γ ≀ (Xf, μf) 的作用具有强遍历性，这是通过不存在非平凡渐近不变序列所证明。
• 阶为 Γi 的周期点数量的增长率提供了索菲克熵的下界。
• 周期点集 Fix(Γi, Xf) 上均匀测度的弱*极限收敛于 Xf 上的哈尔测度 μf。