[论文解读] Entropy Games and Matrix Multiplication Games

Eugène Asarin, Julien Cervelle+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 12

一句话总结

本文引入了熵博弈（EGs）和矩阵乘法博弈（MMGs）两类新型的两半人博弈，涉及独裁者（Despot）、元老院（Tribune）及非确定性行为。证明了EGs以及一类特定的MMG子类——具有独立行不确定性（IRU）的非负矩阵集合——是确定的，其最优策略为位置策略或常数策略，且求解该类博弈位于NP ∩ coNP复杂度类中。

ABSTRACT

Two intimately related new classes of games are introduced and studied: entropy games (EGs) and matrix multiplication games (MMGs). An EG is played on a finite arena by two-and-a-half players: Despot, Tribune and the non-deterministic People. Despot wants to make the set of possible People's behaviors as small as possible, while Tribune wants to make it as large as possible.An MMG is played by two players that alternately write matrices from some predefined finite sets. One wants to maximize the growth rate of the product, and the other to minimize it. We show that in general MMGs are undecidable in quite a strong sense.On the positive side, EGs correspond to a subclass of MMGs, and we prove that such MMGs and EGs are determined, and that the optimal strategies are simple. The complexity of solving such games is in NP\&coNP.

研究动机与目标

• 形式化并研究熵博弈（EGs），这是一类新型的两半人博弈，其中独裁者（Despot）最小化，而元老院（Tribune）最大化可能行为的熵。
• 将矩阵乘法博弈（MMGs）作为联合谱半径问题的推广，其中玩家轮流从预定义集合中选取矩阵，以控制矩阵乘积增长速率。
• 研究MMGs的可判定性与复杂性，特别是其与熵博弈的关系。
• 为具有独立行不确定性的矩阵乘积的谱半径建立一个极小极大定理，从而实现对MMG关键子类的求解。
• 证明EGs与IRU-MMGs是确定的，其最优策略为位置策略或常数策略，并将求解的复杂度边界定为NP ∩ coNP。

提出的方法

• 在有限竞技场中定义熵博弈（EGs），其包含两半人玩家：独裁者（最小化者）、元老院（最大化者）以及行为集合受策略约束的非确定性民众。
• 将MMGs建模为无限回合博弈，其中亚当（Adam）与夏娃（Eve）轮流从有限集合中选择矩阵，以最小化或最大化矩阵乘积的渐近增长速率。
• 将EGs归约为一类MMGs子类——即IRU-MMGs，其中矩阵具有独立行不确定性且为非负矩阵。
• 证明一个关于IRU-集合中非负矩阵A与B的乘积谱半径的新型极小极大定理，证明最优策略为每回合均使用同一固定矩阵。
• 利用极小极大定理证明IRU-MMGs与EGs是确定的，其最优策略为常数策略或位置策略。
• 进行复杂度分析，表明判断EG或IRU-MMG的值是否小于等于给定有理数的决策问题位于NP ∩ coNP复杂度类。

实验结果

研究问题

• RQ1 熵博弈（EGs）是否是确定的？双方是否存在最优策略？
• RQ2 矩阵乘法博弈（MMGs）是否在一般情况下可解，或是否为不可判定的？
• RQ3 判断EG或IRU-MMG的值是否被有理数阈值所限制的复杂度如何？
• RQ4 对于来自独立行不确定性（IRU）集合的矩阵乘积谱半径，是否成立极小极大定理？
• RQ5 EGs能否被归约为MMG的一个可解子类？何种结构特性使得该归约成为可能？

主要发现

• 熵博弈（EGs）是确定的，且独裁者与元老院均存在最优位置策略。
• 矩阵乘法博弈（MMGs）在一般情况下是不可判定的，特别是无法区分值为0与1的博弈。
• 对于IRU-MMG子类（即具有独立行不确定性且元素为非负的矩阵），博弈是确定的，且最优策略为常数策略：每位玩家应在每回合使用同一矩阵。
• 为IRU-集合中非负矩阵A与B的乘积谱半径证明了一个新极小极大定理，表明最优策略为固定使用单一矩阵。
• 比较EG或IRU-MMG的值与有理常数的复杂度位于NP ∩ coNP复杂度类。
• EGs可被归约为IRU-MMGs，且该归约保持博弈值与最优策略，从而将两类博弈联系起来。