[论文解读] Entropy numbers of embedding operators of weighted Sobolev spaces with weights that are functions of distance from some h-set

А. А. Васильева|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文建立了约翰域上加权Sobolev空间到加权Lebesgue空间的嵌入算子的熵数的精确渐近估计，其中权重为到 $ h $-集距离的函数。通过域的树状分解及对权重结构的精确分析，作者推导出依赖于齐次指数 $ \theta $、对数因子及权重函数参数的阶估计，扩展了先前在奇异权重设定下关于 $ n $-宽度和熵数的结果。

ABSTRACT

In this paper order estimates for entropy numbers of embeddings of weighted Sobolev spaces on a John domain are obtained. In addition, we obtain order estimates for entropy numbers of summation operators on trees.

研究动机与目标

• 推导约翰域上依赖于到 $ h $-集距离的权重的加权Sobolev空间到加权Lebesgue空间的嵌入算子的熵数的精确阶估计。
• 将此类嵌入的 $ n $-宽度先前结果扩展至熵数，后者是紧性的更精细度量。
• 分析 $ h $-集的分形类似结构（由 $ h(t) = t^\theta |\log t|^\gamma \tau(|\log t|) $ 描述）对嵌入算子熵行为的影响。
• 根据齐次指数 $ \theta $、对数指数 $ \gamma $ 及权重参数 $ \kappa, \alpha, \tau $，对熵数进行完整的渐近分类。

提出的方法

• 分析基于利用约翰域性质构造从任意点到固定中心的具有统一控制的曲线的域的树状结构分解。
• 通过域的 dyadic 分解及在 $ h $-集附近的 dyadic 方块局部化，利用覆盖数估计熵数。
• 该方法涉及将嵌入问题约化为定义在权重 $ u $ 和 $ w $ 上的树上的离散算子，并分析序列空间 $ l_p(\mathcal{A}) \to l_q(\mathcal{A}) $ 上相关求和算子 $ S_{u,w,\mathcal{A}} $ 的熵数。
• 关键估计通过函数 $ \rho $ 和 $ \tau $ 导出，它们描述了权重在 $ h $-集附近的慢变行为，以及控制分解尺度的参数 $ m_* $。
• 熵数估计通过基于 $ \kappa, \kappa_w, \theta, \theta/q, \theta(1/q - 1/p)_+ $ 相对值及 $ \alpha - (1 - \gamma)(1/q - 1/p)_+ $ 符号的分类讨论获得。
• 结果通过约翰域上函数的积分表示与针对奇异权重结构量身定制的精确覆盖论证联合证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当权重为约翰域中到 $ h $-集距离的函数时，Sobolev到Lebesgue嵌入的熵数行为如何？
• RQ2 这些熵数的精确渐近阶量级如何以齐次指数 $ \theta $、对数因子及权重参数表示？
• RQ3 当权重在 $ h $-集附近表现出对数或慢变奇异性时，熵数如何变化？
• RQ4 域的树状结构在决定熵数衰减速率方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下熵数按 $ n $ 的幂衰减，而在何种条件下依赖于对数或迭代对数项？

主要发现

• 当 $ \kappa > \theta(1/q - 1/p)_+ $ 时，熵数满足 $ e_n \asymp n^{-\kappa/\theta + 1/q - 1/p} (\log n)^{-\alpha_0 - \kappa\gamma/\theta} \rho(\log n) \tau^{-\kappa/\theta}(\log n) $，其中 $ \alpha_0 $ 依赖于 $ \kappa_w $。
• 当 $ \kappa = \theta(1/q - 1/p)_+ $ 时，衰减为对数形式：$ e_n \asymp (\log n)^{-\alpha_0} \rho(\log n) \tau^{-1/q + 1/p}(\log n) $，其中 $ \alpha_0 $ 根据 $ \kappa_w $ 调整，且此结果在 $ p \geq q $ 时成立。
• 当 $ p < q $ 时，若 $ \alpha_0 > 1/p - 1/q $，熵数衰减为 $ n^{1/q - 1/p} (\log n)^{-\alpha_0 - 1/q + 1/p} \rho(\log n) $；若 $ \alpha_0 < 1/p - 1/q $，则衰减为 $ n^{-\alpha_0} \rho(n) $，表明在 $ \alpha_0 = 1/p - 1/q $ 处存在相变。
• 在临界情形 $ \theta = 0 $，$ \kappa = 0 $，$ \kappa_w > 0 $ 时，若 $ \alpha - (1 - \gamma)(1/q - 1/p)_+ > 0 $，则熵数行为为 $ n^{-\alpha/(1-\gamma) + 1/q - 1/p} (\log n)^{-\lambda - \alpha\nu/(1-\gamma)} $。
• 当 $ \theta = 0 $，$ \kappa = 0 $，且 $ \alpha - (1 - \gamma)(1/q - 1/p)_+ = 0 $ 时，衰减为 $ (\log n)^{-\lambda + (1 - \nu)(1/q - 1/p)} $（当 $ p \geq q $ 时），其对数相变依赖于 $ \lambda $。
• 当 $ p < q $ 时，若 $ \lambda > 1/p - 1/q $，衰减为 $ n^{1/q - 1/p} (\log n)^{-\lambda + 1/p - 1/q} $；若 $ \lambda < 1/p - 1/q $，则衰减为 $ n^{-\lambda} $，表明在 $ \lambda = 1/p - 1/q $ 处存在锐阈值。