[论文解读] Entropy of Bernoulli convolutions and uniform exponential growth for linear groups

Emmanuel Breuillard, Péter P. Varjú|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 59被引用 29

一句话总结

本文在数论中的Lehmer猜想与线性群的均匀指数增长猜想之间建立了深度等价关系。通过分析由代数λ生成的仿射半群x ↦ λx ± 1上随机游走的熵，作者证明了熵hλ有下界，其下界为log Mλ的常数倍，其中Mλ是λ的Mahler度量。该结果将伯努利卷积的维数与群的增长率联系起来，表明当λ接近1但Mλ不接近1时，dim µλ = 1，从而将增长猜想归约为Lehmer猜想。

ABSTRACT

The exponential growth rate of non polynomially growing subgroups of $GL_d$ is conjectured to admit a uniform lower bound. This is known for non-amenable subgroups, while for amenable subgroups it is known to imply the Lehmer conjecture from number theory. In this note, we show that it is equivalent to the Lehmer conjecture. This is done by establishing a lower bound for the entropy of the random walk on the semigroup generated by the maps $x\mapsto \lambda\cdot x\pm 1$, where $\lambda$ is an algebraic number. We give a bound in terms of the Mahler measure of $\lambda$. We also derive a bound on the dimension of Bernoulli convolutions.

研究动机与目标

• 建立Lehmer猜想与线性群均匀指数增长猜想之间的等价性。
• 为代数λ生成的半群x ↦ λx ± 1上随机游走的熵提供下界。
• 以Mahler度量Mλ为参数，推导伯努利卷积测度µλ的维数界限。
• 在Lehmer猜想成立的前提下，证明对所有代数λ ∈ (1−ε, 1)有dim µλ = 1，并给出无需假设的充分条件以保证维数为1。
• 证明有限生成线性群的增长率ρS有下界，其下界为log Mλ的倍数，其中λ为代数数且非单位根。

提出的方法

• 利用Hochman定理，将伯努利卷积测度µλ的维数与由x ↦ λx ± 1生成的半群上随机游走的熵hλ联系起来。
• 建立双侧界限：c·min{1, log Mλ} ≤ hλ ≤ min{1, log Mλ}，其中c > 0为绝对常数，使用熵与测度论技术。
• 将熵界限推广至更一般的i.i.d.增量ν0，其取值于整数，其中c(ν0)依赖于ν0。
• 应用ping-pong方法与群论论证（如Zariski闭包、极大环面、幂零根）分析线性群的增长。
• 利用Platonov关于中心化子与Jordan定理的结果，控制有限子群并构造有界指数的阿贝尔子群。
• 利用仿射群中非几乎幂零子群在某些同态下必有非阿贝尔像的事实，推导出增长率的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性群的均匀指数增长猜想是否与Lehmer猜想等价？
• RQ2 能否以Mahler度量Mλ为参数，对由x ↦ λx ± 1生成的半群上随机游走的熵hλ给出下界？
• RQ3 在Lehmer猜想成立的前提下，对所有代数λ ∈ (1−ε, 1)是否都有dim µλ = 1？
• RQ4 对于Salem数λ ∈ (1/2, 1)，是否可能有hλ = log Mλ？
• RQ5 对有界可解类的可解线性群，是否存在增长率ρS的统一下界？

主要发现

• GLd(C)的增长猜想与Lehmer猜想等价：除非群几乎幂零，否则ρS > 0有统一下界。
• 对任意代数数λ，熵hλ满足c·min{1, log Mλ} ≤ hλ ≤ min{1, log Mλ}，其中c > 0为绝对常数，数值上c ≈ 0.44。
• 若Mλ < 2且λ无单位圆上的Galois共轭，则hλ < log Mλ，表明上界通常严格成立。
• 若Lehmer猜想成立，则对所有代数λ ∈ (1−ε, 1)有dim µλ = 1；对一大类λ，该结论无需假设即可成立。
• 对任意有界可解类r的可解群，存在cr > 0，使得要么ρS = 0（即几乎幂零），要么ρS > cr log Mλ，其中λ为非单位根的代数数。
• 该结果可推广至取值于整数的任意i.i.d.增量ν0，此时c(ν0) > 1−ε是可能的，意味着许多新的有偏伯努利卷积具有满维数。