[论文解读] Entropy of black holes in topologically massive gravity

Yun Soo Myung, H. W. Lee+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为拓扑质量引力中的CS-BTZ黑洞提出了一种新的熵公式，$\tilde{S}_{BH} = \pi\tilde{r}_{+}/(2G_3)$，其中视界半径$\tilde{r}_{+}$因引力陈-西蒙斯项而发生修正。该熵满足热力学第一定律与面积律，提供了自洽的热力学描述，避免了先前已知的修正熵$S_c$中对内视界的依赖问题，因此在该理论中提供了更符合物理直觉的黑洞熵候选公式。

ABSTRACT

We study the issue of black hole entropy in the topologically massive gravity. Assuming that the presence of gravitational Chern-Simons term with the coupling $1/μ$ does modify the horizon radius $ ilde{r}_+$, we propose $ ilde{S}_{BH}=π ilde{r}_+/2G_3$ as the Bekenstein-Hawking entropy. This entropy of CS-BTZ black hole satisfies the first-law of thermodynamics and the area-law but it is slightly different from the shifted-entropy $S_c=πr_+/2G_3+ (1/μl)πr_-/2G_3$ based on the BTZ black hole with outer $r_+$ and inner horizon $r_-$. In the case of $r_-=0$, $ ilde{S}_{BH}$ represents the entropy of non-rotating BTZ black hole with the Chern-Simons term (NBTZ-CS), while $S_c$ reduces to the entropy of NBTZ black hole. It shows that $ ilde{S}_{BH}$ may be a candidate for the entropy of the CS-BTZ black hole.

研究动机与目标

• 解决在拓扑质量引力中，BTZ黑洞与陈-西蒙斯项耦合时热力学不一致的问题。
• 解决先前提出的修正熵$S_c$依赖于内视界$r_-$的问题，这与黑洞熵应仅与外视界相关联的物理解释相矛盾。
• 提出一种新熵$\tilde{S}_{BH}$，使其同时满足热力学第一定律与面积律，确保热力学的一致性。
• 证明新熵$\tilde{S}_{BH}$在非旋转极限及$\mu l \to \infty$极限下正确还原为标准的贝肯斯坦-霍金熵，从而确认其与已知极限的一致性。

提出的方法

• 作者通过引入陈-西蒙斯项对质量与角动量的影响，推导出修正后的度规函数$f(r)$与$N^\phi$，从而得到修正的视界半径$\tilde{r}_{+}$。
• 基于修正后的外视界半径，定义新熵$\tilde{S}_{BH} = \pi\tilde{r}_{+}/(2G_3)$，确保其满足贝肯斯坦-霍金面积律。
• 通过使用从修正度规推导出的在壳温度与角速度，验证了热力学第一定律$dM = \tilde{T}_H d\tilde{S}_{BH} + \tilde{\Omega}_+ dJ$成立。
• 将新熵$\tilde{S}_{BH}$与先前已知的修正熵$S_c = \pi r_+/(2G_3) + (1/\mu l)\pi r_-/(2G_3)$进行比较，表明$\tilde{S}_{BH}$避免了对内视界$r_-$的依赖，从而解决了关键的物理不一致性问题。
• 分析自旋极限$\mu l = 1$与非旋转情形（$j=0$），确认其与已知结果的一致性，包括在自旋点处的极端熵。
• 与CFT方法对比，指出$\tilde{S}_{BH}$无需通过修正的Virasoro生成元或中心荷来双重计数陈-西蒙斯项，而$S_c$的推导则存在此问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑质量引力中，引力陈-西蒙斯项的存在是否必然要求对黑洞熵公式进行修正？若需修正，应如何定义？
• RQ2 为何先前提出的修正熵$S_c$依赖于内视界$r_-$？考虑到黑洞熵应仅与外视界相关，这种依赖是否具有物理合理性？
• RQ3 能否构造一种新熵公式，使其同时满足热力学第一定律与面积律，且一致地包含陈-西蒙斯项的影响？
• RQ4 新熵$\tilde{S}_{BH}$在非旋转情形与自旋点$\mu l = 1$下的行为如何？其是否能还原为已知结果？
• RQ5 在AdS3/CFT2对应框架下，该熵的物理诠释为何？$\tilde{S}_{BH}$与通过修正中心荷的CFT推导出的熵相比有何差异？

主要发现

• 所提出的熵$\tilde{S}_{BH} = \pi\tilde{r}_{+}/(2G_3)$满足热力学第一定律$dM = \tilde{T}_H d\tilde{S}_{BH} + \tilde{\Omega}_+ dJ$，其中修正后的温度$\tilde{T}_H$与角速度$\tilde{\Omega}_+$均来自修正度规。
• 新熵$\tilde{S}_{BH}$满足面积律，因其与外视界$\tilde{r}_{+}$的面积成正比，而先前的修正熵$S_c$则包含与内视界$r_-$成正比的项。
• 在非旋转情形（$j=0$）下，$\tilde{S}_{BH}^{j=0} = \pi l \sqrt{m/(2G_3)} \left( \sqrt{1 + 1/\mu l} + \sqrt{1 - 1/\mu l} \right)$，在$\mu l \to \infty$极限下正确还原为NBTZ黑洞的熵，确认了其与已知极限的一致性。
• 在自旋点$\mu l = 1$处，熵变为$\tilde{S}_{BH}^{j=0} = \pi l \sqrt{m/G_3}$，与CS-BTZ黑洞的极端熵一致。
• 已证明修正熵$S_c$与物理原理相悖，因其显式地将$1/\mu l$与$r_-$耦合，暗示存在非物理的自由度。
• 新熵$\tilde{S}_{BH}$在CFT框架下无需使用修正的中心荷或Virasoro生成元，从而避免了$S_c$推导中因双重计数陈-西蒙斯项而引发的问题。