[论文解读] Entropy Stable p-Nonconforming Discretizations with the Summation-by-Parts Property for the Compressible Euler equations

David C. Del Rey Fernández, Mark H. Carpenter+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 48被引用 11

一句话总结

该论文将具有求和-by-parts（SBP）性质的熵稳定、p-非一致间断伽辽金方法扩展至压缩Euler方程的曲线网格。通过在非一致界面使用SBP保持的插值和度量近似，该格式实现了熵稳定、单元内守恒以及自由流保持，且在基准测试中其精度与稳定性与一致格式相当。

ABSTRACT

The entropy conservative/stable algorithm of Friedrich~\etal (2018) for hyperbolic conservation laws on nonconforming p-refined/coarsened Cartesian grids, is extended to curvilinear grids for the compressible Euler equations. The primary focus is on constructing appropriate coupling procedures across the curvilinear nonconforming interfaces. A simple and flexible approach is proposed that uses interpolation operators from one element to the other. On the element faces, the analytic metrics are used to construct coupling terms, while metric terms in the volume are approximated to satisfy a discretization of the geometric conservation laws. The resulting scheme is entropy conservative/stable, elementwise conservative, and freestream preserving. The accuracy and stability properties of the resulting numerical algorithm are shown to be comparable to those of the original conforming scheme (~p+1 convergence) in the context of the isentropic Euler vortex and the inviscid Taylor-Green vortex problems on manufactured high order grids.

研究动机与目标

• 将熵稳定、p-非一致间断伽辽金方法扩展至可压缩Euler方程的曲线网格。
• 在曲形单元的非一致界面确保熵稳定与守恒。
• 在p-局部加密/局部粗化条件下保持自由流保持与高阶精度。
• 通过SBP保持的插值与一致的度量近似，开发一种鲁棒的耦合过程。
• 在制造的高阶网格上，通过与一致格式的基准对比，验证该格式的精度与稳定性。

提出的方法

• 采用Friedrich等人（2018）提出的熵守恒/稳定框架，利用同时逼近项（SATs）的SBP算子将其推广至曲线单元。
• 在非一致单元之间使用插值算子，以耦合界面处的解值。
• 在单元面上使用解析度量，并对体积度量项进行近似，以满足几何守恒律。
• 应用Crean等人（2017）的度量近似技术，以保持熵稳定与单元内守恒。
• 采用高斯-勒让德-洛巴托（LGL）点的配点型节点DG离散化，以实现高阶精度。
• 通过仔细构造界面项与体积项，避免引入虚假源项，从而确保自由流保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持稳定与守恒的前提下，将熵稳定的p-非一致间断伽辽金格式推广至曲线网格？
• RQ2 在曲形单元中，如何在不损害熵稳定或自由流保持的前提下耦合非一致界面？
• RQ3 何种度量近似策略能确保在高阶曲形单元中与几何守恒律的一致性？
• RQ4 该格式是否能保持与一致SBP-DG格式相同的收敛速率与稳定性？
• RQ5 该方法在非线性问题（如Taylor–Green涡）的长时间模拟中是否仍保持鲁棒性？

主要发现

• 所提出的格式在p-非一致曲形单元上实现了可压缩Euler方程的熵稳定与单元内守恒。
• 通过无虚假涡量与动能演化的一致性验证，该格式保持了自由流解。
• 在等熵涡问题中，该格式在p=1至p=7的L1、L2与L∞范数下均表现出p+1阶收敛率，与一致格式一致。
• 在p=2至p=10的Taylor–Green涡测试中，该格式在20个时间单位内保持稳定，无发散或非物理振荡。
• 在L1与L2范数下，非一致格式的精度略优于一致格式，尽管L∞误差因次优插值略差。
• 动能的时间导数保持有界且符合物理解释，证实了其在非线性、长时间模拟中的鲁棒性。