[论文解读] Equations for secant varieties of Veronese and other varieties

J. M. Landsberg, Giorgio Ottaviani|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文利用表示理论与向量丛技巧，引入了一类用于Veronese簇的割线簇的新方程，通过'Young Flattenings'推广了经典的catalecticant余子式。证明了在标准flattenings失效的情况下，某些Young Flattenings可提供方案-理论定义方程，并通过齐次向量丛建立统一框架，推导出多种代数几何设定下割线簇的方程。

ABSTRACT

New classes of modules of equations for secant varieties of Veronese varieties are defined using representation theory and geometry. Some old modules of equations (catalecticant minors) are revisited to determine when they are sufficient to give scheme-theoretic defining equations. An algorithm to decompose a general ternary quintic as the sum of seven fifth powers is given as an illustration of our methods. Our new equations and results about them are put into a larger context by introducing vector bundle techniques for finding equations of secant varieties in general. We include a few homogeneous examples of this method.

研究动机与目标

• 开发超越经典catalecticant余子式的Veronese簇割线簇的新系统性方程。
• 确定经典flattenings在何时足以从方案-理论角度定义割线簇。
• 引入统一的向量丛框架，以系统化推导一般割线簇的方程。
• 通过算法展示方法在将三元五次型分解为五次幂之和中的应用。
• 将理论扩展至其他簇，包括旋量簇与例外Grassmannian簇。

提出的方法

• 将'Young Flattenings'作为经典Aronhold不变量的推广，利用表示理论构造新的方程模。
• 在旗流形G/P上应用向量丛技巧，通过齐次向量丛的上同调推导割线簇的方程。
• 利用向量丛E与E*⊗L之间的对偶性，从整体截面构造方程，尤其在两者均具有非平凡截面时。
• 利用对称张量与对称flattenings φa,d−a的几何性质，分析秩条件并推导余子式。
• 提出归纳引理（引理6.2.1），以推广结果至不同割线簇与维度。
• 将该框架应用于具体情形，如σr(vd(Pn))，并利用Iarrobino、Kanev与Diesel的已知结果验证方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种情况下，经典catalecticant余子式足以从方案-理论角度定义Veronese簇的割线簇？
• RQ2 当标准flattenings失效时，能否通过新类方程（如Young Flattenings）提供方案-理论定义方程？
• RQ3 如何系统性地利用向量丛上同调构造齐次簇割线簇的方程？
• RQ4 在例外情形（如E6/P3或Dn/Pn）中，定义割线簇的方程的最小次数是多少？
• RQ5 在复杂性理论与代数统计中，新方程相较于现有方法在效率与完备性方面表现如何？

主要发现

• Young Flattenings，特别是YFd,n，在标准flattenings失效的情况下，可提供割线簇的方案-理论定义方程，如定理1.2.3所证明。
• 对于σ3(v3(Pn))，Aronhold不变量与φ1,2的4×4余子式共同给出理想理论方程，如命题4.1.1与定理3.2.1所示。
• 在σ3(vd(Pn))且d≥4时，φ2,2与φ1,3的4阶余子式可方案-理论地定义割线簇，如定理1.2.3所确立。
• 在σ4(vd(P2))与σ5(vd(P2))中，当d≥6或d=4时，分别由φa,d−a（a=⌊d/2⌋）的5阶与6阶余子式给出方案-理论方程，如定理1.2.3所述。
• 在σ6(v5(P2))中，φ31,31的14阶子-Pfaffians可方案-理论地定义割线簇，如定理s6v5p2所示。
• 在σj(v2δ(P2))中，当j≤(δ+1 choose 2)时，对1≤a≤δ的φa,d−a的秩条件可给出方案-理论方程，扩展了Iarrobino与Kanev的已知结果。