[论文解读] Equidistribution and counting under equilibrium states in negative curvature and trees. Applications to non-Archimedean Diophantine approximation

Anne Broise-Alamichel, Jouni Parkkonen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2016

advanced mathematical theories被引用 16

一句话总结

本文在具有势函数的负曲率空间中建立了测地线弧与公共垂线的等分布与计数结果，将 Patterson-Sullivan 和 Gibbs 测度理论推广至 CAT(−1) 空间。在自然条件下，证明了测地流等分布至 Gibbs 测度，且公共垂线等分布至皮肤测度，从而在函数域上的非阿基米德函数域丢番图逼近中实现了新应用。

ABSTRACT

In this book, we study equidistribution and counting problems concerning locally geodesic arcs in negatively curved spaces endowed with potentials, and we deduce, from the special case of tree quotients, various arithmetic applications to equidistribution and counting problems in non-Archimedean local fields.

研究动机与目标

• 将包含 Gibbs 测度与皮肤测度的平衡态理论推广至带有势函数的 CAT(−1) 空间。
• 将测地流与公共垂线的等分布结果推广至带有势函数的空间。
• 建立在负曲率空间中，长度趋于无穷的公共垂线的渐近计数结果。
• 将几何等分布结果应用于非阿基米德局部域中的算术问题。
• 通过电导系统在度量树上建立势函数的框架，将动力系统与算术联系起来。

提出的方法

• 为 CAT(−1) 空间上的势函数 F 定义临界指数 δF，推广经典临界指数。
• 引入 HC-性质（势函数积分的 Hölder 连续性），以保证动力系统的正则性。
• 在无穷远边界及测地空间上构造平衡态（Gibbs 测度）与皮肤测度。
• 利用测地线空间上的测地流分析轨道与公共垂线的等分布。
• 在混合性与有限性假设下，证明皮肤测度在测地流下的像等分布至 Gibbs 测度。
• 将理论应用于具有电导系统度量树，其中势函数 Fc 由边电导导出，δc 为临界指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 平衡态与 Gibbs 测度如何推广至带有势函数的 CAT(−1) 空间？
• RQ2 在何种条件下，测地流会将皮肤测度等分布至 Gibbs 测度？
• RQ3 当长度趋于无穷时，两个适当嵌入的闭凸子集之间的公共垂线如何等分布？
• RQ4 在带有势函数的负曲率空间中，长度递增的公共垂线具有怎样的渐近计数性质？
• RQ5 树上的几何等分布结果如何应用于非阿基米德函数域中的丢番图逼近？

主要发现

• 在非退化、混合性与有限性假设下，皮肤测度在测地流下的像等分布至 Gibbs 测度。
• 随着长度趋于无穷，公共垂线的初始与末端切向量等分布至皮肤测度。
• 长度 ≤ T 的公共垂线的渐近计数函数渐近等价于 e^{δF T} / T^{1/2} 乘以依赖于几何的常数。
• 对于具有电导系统的度量树，临界指数 δc 为有限正数，且通过势函数 Fc，平衡态理论适用。
• 树上的等分布结果导出了有限域上函数域的完备化中，有理数与二次无理数的新等分布与计数定理。
• 该理论统一并推广了关于公共垂线与等分布的先前结果，包括 Roblin、Parry-Paulin 与 Pau-Pollicott 的工作。