[论文解读] Equidistribution for nonuniformly expanding dynamical systems

Alexey Korepanov|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

本文提出了一种非均匀扩张动力系统中可观测量Birkhoff和的耦合方法，表明不同不变测度（如勒贝格测度或绝对连续测度）的关联随机过程几乎必然接近，且给出了明确的误差界。其核心贡献在于通过提供一种稳健的框架，填补了梅尔伯格与尼科尔在非均匀双曲映射中几乎必然不变性原理证明中的一个关键空白。

ABSTRACT

Let $T \colon M o M$ be a nonuniformly expanding dynamical system, such as logistic or intermittent map. Let $v \colon M o \mathbb{R}^d$ be an observable and $v_n = \sum_{k=0}^{n-1} v \circ T^k$ denote the Birkhoff sums. Given a probability measure $\mu$ on $M$, we consider $v_n$ as a discrete time random process on the probability space $(M, \mu)$. In smooth ergodic theory there are various natural choices of $\mu$, such as the Lebesgue measure, or the absolutely continuous $T$-invariant measure. They give rise to different random processes. We investigate relation between such processes. We show that in a large class of measures, it is possible to couple (redefine on a new probability space) every two processes so that they are almost surely close to each other, with explicit estimates of closeness. The purpose of this work is to close a gap in the proof of the almost sure invariance principle for nonuniformly hyperbolic transformations by Melbourne and Nicol.

研究动机与目标

• 解决梅尔伯格与尼科尔在非均匀双曲变换中几乎必然不变性原理证明中的一个空白。
• 研究相空间上不同概率测度下由Birkhoff和生成的随机过程之间的关系。
• 建立在不同不变测度下生成的过程可被耦合为几乎必然接近的条件。
• 提供此类耦合过程之间接近程度的显式定量估计。
• 通过比较不同自然测度诱导的过程，将光滑遍历理论工具扩展至非均匀扩张系统。

提出的方法

• 对可观测量 $ v \colon M \to \mathbb{R}^d $ 和非均匀扩张映射 $ T \colon M \to M $，定义Birkhoff和 $ v_n = \sum_{k=0}^{n-1} v \circ T^k $。
• 将过程 $ v_n $ 视为在 $ (M, \mu) $ 上的随机过程，其中 $ \mu $ 为勒贝格测度或绝对连续不变测度等概率测度。
• 在共同概率空间上构造对应于不同测度 $ \mu_1 $ 和 $ \mu_2 $ 的两个过程之间的耦合，以确保其几乎必然接近。
• 利用测度 $ \mu_1 $ 与 $ \mu_2 $ 之间距离的显式估计，特别是它们相对于共同参考测度的密度。
• 应用光滑遍历理论与耦合论证技术，控制不同测度下Birkhoff和的偏差。
• 建立依赖于可观测量正则性与系统相关性衰减速率的耦合误差定量界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非均匀扩张系统中，不同不变测度下的Birkhoff和能否被耦合，使得对应过程几乎必然接近？
• RQ2 从不同测度生成的耦合过程中，其距离的显式定量估计为何？
• RQ3 该耦合方法如何解决非均匀双曲映射中几乎必然不变性原理证明中的一个技术性空白？
• RQ4 Birkhoff和的统计性质在多大程度上依赖于不变测度的选择？
• RQ5 系统与可观测量需满足何种条件，才能保证此类耦合存在且误差可控？

主要发现

• 在一大类不变测度中，任意两个测度下的Birkhoff和之间存在耦合，使得对应过程几乎必然接近。
• 耦合误差被显式有界，其界依赖于可观测量的正则性与系统的相关性衰减速率。
• 该方法成功填补了非均匀双曲变换中几乎必然不变性原理证明中的一个关键空白。
• 结果适用于逻辑斯蒂映射与间歇映射等典型例子，这些系统均为非均匀扩张系统。
• 该框架允许比较由不同自然测度（如勒贝格测度与绝对连续不变测度）诱导的随机过程。
• 耦合构造具有鲁棒性，为分析非均匀双曲动力系统中的收敛性与不变性原理提供了定量工具。