[论文解读] Equidistribution on homogeneous spaces and the distribution of approximates in Diophantine approximation

Mahbub Alam, Anish Ghosh|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了与数域相关的齐性空间上对角流的等分布结果，证明了在这些流作用下，单位模格点的轨道会相对于具有受控增长性的无界函数实现等分布。该研究解决了Kleinbock、Shi和Weiss提出的问题，即关于无界权重下的等分布性，并将丢番图逼近中的螺旋定理推广至数域，扩展了Schmidt和Athreya-Ghosh-Tseng的结果至任意数域，对丢番图不等式的解给出了精确的渐近计数。

ABSTRACT

The present paper is concerned with equidistribution results for certain flows on homogeneous spaces and related questions in Diophantine approximation. Firstly, we answer in the affirmative, a question raised by Kleinbock, Shi and Weiss regarding equidistribution of orbits of arbitrary lattices under diagonal flows and with respect to unbounded functions. We then consider the problem of Diophantine approximation with respect to rationals in a fixed number field. We prove a number field analogue of a famous result of W. M.Schmidt which counts the number of approximates to Diophantine inequalities for a certain class of approximating functions. Further we prove "spiraling" results for the distribution of approximates of Diophantine inequalities in number fields. This generalizes the work of Athreya, Ghosh and Tseng as well as Kleinbock, Shi and Weiss.

研究动机与目标

• 解决Kleinbock、Shi和Weiss提出的问题，即在齐性空间上对角流对无界函数的等分布性。
• 将丢番图逼近中原本针对R^m的螺旋结果推广至任意数域。
• 建立Schmidt关于丢番图不等式解的渐近计数在数域中的类比结果，适用于一般逼近函数。
• 证明在对角流作用下，格点加权轨道的等分布性，将Q上的结果推广至任意数域。
• 在数域设定下，利用Siegel变换和SL_d(K_S)/SL_d(O)上的等分布性，建立一个理论框架。

提出的方法

• 利用Shi在SL_d(K_S)/SL_d(O)上对幂零流的等分布定理，证明对角流下几乎所有轨道的通用性。
• 定义一个增长受控的函数空间Cα(X)，其中函数被一个适当的映射α(Λ) = max{d(Λ′)^{-1}}（对Λ的子格）所控制。
• 应用Siegel变换bf(Λ) = ∑_{v≠0} f(v)，其中f是K^d_S上的黎曼可积函数，以建立X上函数积分与K^d_S上体积积分之间的关系。
• 利用弱-*收敛性，并通过compactly 具有紧支集的连续函数逼近，将等分布性从有界连续函数推广至Cα(X)中的函数。
• 通过与K^d_S中环形和球形区域的特征函数比较，借助格点计数和测度控制，证明等分布性。
• 通过缩放和对角流下的不变性，建立丢番图不等式解的计数与K^d_S中相关集合体积之间的渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于几乎每个ϑ ∈ M，当在Cα(X)中的无界函数ψ下测试时，单位模格点在对角流作用下的轨道是否在齐性空间G/Γ上实现等分布？
• RQ2 R^m中丢番图逼近的螺旋现象能否推广至数域，使得方向向量在球面上实现等分布？
• RQ3 在数域中，对于一般逼近函数，丢番图不等式的解的渐近数量是多少？
• RQ4 对加权轨道的等分布结果是否可从Q推广至任意数域？数域结构如何影响计数？
• RQ5 K^d_S上黎曼可积函数的Siegel变换在对角流下的行为如何？其与X上不变测度的关系是什么？

主要发现

• 对于几乎每个ϑ ∈ M，轨道{gt∆ϑ}相对于任意ψ ∈ Cα(X)实现等分布，即lim_{T→∞} (1/T)∫₀ᵀ ψ(gt∆ϑ) dt = ∫_X ψ dµ。
• 本文解决了Kleinbock、Shi和Weiss提出的问题，证明了Cα(X)中无界函数的等分布性，将先前仅限于有界连续函数的结果推广。
• 证明了Schmidt定理在数域中的类比：具有权函数的丢番图不等式解的数量，其渐近增长量与K^d_S中对应集合的体积一致。
• 对于方向位于可测集A ⊆ S^{m-1}的逼近，计数函数N(T, A)满足lim_{T→∞} N(T, A)/N(T) = vol(A)，将Athreya、Ghosh和Tseng的结果推广至数域。
• 对于任意可测集A ⊆ S^{m-1}和T > 0，方向位于A中的逼近的比例收敛于A的归一化曲面测度，即使逼近函数被Cα(X)中的一般函数加权亦成立。
• 通过等分布性，证明了在数域中加权丢番图不等式解集的渐近体积等于其特征函数在齐性空间上的Siegel变换的积分。