[论文解读] Equidistribution speed towards the Green current for endomorphisms of P^k

Johan Taflin|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文在复射影空间 $\mathbb{P}^k$ 上，针对全纯自同态的迭代，建立了超曲面的指数等分布速度。通过拟势论与体积估计，证明了对一般超曲面，其拉回 $d^{-n}(f^n)^*([H])$ 以速率 $\lesssim (\lambda/d)^{n\beta/2}$ 收敛于格林当前 $T$，从而对余维一情形给出了显式定量界限，解决了该猜想。

ABSTRACT

Let f be a non-invertible holomorphic endomorphism of P^k. For a hypersurface H of P^k, generic in the Zariski sense, we give an explicit speed of convergence of f^{-n}(H) towards the dynamical Green (1,1)-current of f.

研究动机与目标

• 证明 Dinh 与 Sibony 关于复射影空间 $\mathbb{P}^k$ 上全 holomorphic 自同态作用下超曲面指数等分布速度的猜想。
• 为一般超曲面 $H$ 的 $d^{-n}(f^n)^*([H])$ 收敛于格林当前 $T$ 建立定量收敛速度。
• 以测试形式的 Hölder 范数与映射 $f$ 的代数次数 $d$ 为参数，提供显式衰减估计。
• 通过拟势论中的 Lojasiewicz 型不等式与超势方法，处理奇点与例外集。

提出的方法

• 利用拟势论分析当前 $S_n = d^{-n}(f^n)^*(S)$ 的动力势 $u_n$，将收敛性与 $u_n$ 的 $L^1$-范数关联。
• 应用拟上半谐函数的广义 Hörmander 型估计，以控制子水平集 $K_n = \{u_n \leq -(\lambda/d)^n\}$。
• 在奇点解析集上应用 Lojasiewicz 不等式，以估计 $f^n$ 下小球的扩张，这对体积控制至关重要。
• 通过构造有限族 $\mathscr{A}_\lambda$ 的周期不可约解析集，将问题约化至不变解析集。
• 通过迭代的归纳法，证明 $f^n(K_n)$ 包含半径 $r_n$ 满足 $r_n \sim (\lambda_3/d)^{\beta n}$ 的球，若收敛速度过慢则导致矛盾。
• 通过递推半径更新 $r_{i+1} = A(t_n/2)^N r_i^\delta$ 建立一致指数界，利用例外集外的体积收缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^k$ 上全纯自同态迭代下，超曲面向格林当前等分布的精确速率为何？
• RQ2 能否对余维一当前 $d^{-n}(f^n)^*([H]) \to sT$ 建立猜想的指数收敛速度，并给出显式定量界限？
• RQ3 奇点与周期解析集如何影响收敛速度？在拟势论中如何控制它们？
• RQ4 体积估计与 Hörmander 型不等式在非紧的拟上半谐函数族中可否被适配？

主要发现

• 本文证明：对任意质量为 1 的正闭 $(1,1)$-当前 $S$，其动力势 $u$ 在有限族 $\mathscr{A}_\lambda$ 的周期解析集上 $L^1$-范数有界，则序列 $S_n = d^{-n}(f^n)^*(S)$ 以指数速度收敛于格林当前 $T$。
• 对任意 $0 < \beta \leq 2$ 及 $\phi \in \mathscr{C}^\beta(\mathbb{P}^k)$，收敛满足 $|\langle S_n - T, \phi \rangle| \leq A \|\phi\|_{\mathscr{C}^\beta} (\lambda/d)^{n\beta/2}$，其中 $A$ 与 $n$、$\phi$、$S$ 无关。
• 收敛速率由比值 $\lambda/d$（其中 $1 < \lambda < d$）定量控制，指数 $\beta$ 反映测试形式的正则性。
• 证明的关键在于：子水平集 $K_n = \{u_n \leq -(\lambda/d)^n\}$ 包含半径 $r_n \sim (\lambda_3/d)^{\beta n}$ 的球，若收敛慢于指数速度则导致矛盾。
• 通过体积增长估计，证明了集合 $\mathscr{N} = \bigcup_u \{n \geq 1 \mid \|u_n\|_{L^p(X)} \geq (\lambda/d)^n\}$ 的有限性，从而推出 $u_n$ 的一致 $L^p$-有界性。
• 该结果可推广至 $\mathscr{A}_\lambda$ 被任意与 $\mathscr{A}_\lambda$ 所有分支相交的解析集替代的情形，确保对奇点的鲁棒性。