[论文解读] Equitable Partitions into Matchings and Coverings in Mixed Graphs

Tamás Király, Yu Yokoi|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文引入了混合边覆盖作为混合图中匹配森林的覆盖对偶，将匹配–覆盖对偶性推广至混合结构。通过建立等权划分定理，证明边集与弧集可被划分为k个匹配森林或混合边覆盖，其大小差异被限制在1或2以内，实现了最优的多准则均衡化。

ABSTRACT

Matchings and coverings are central topics in graph theory. The close relationship between these two has been key to many fundamental algorithmic and polyhedral results. For mixed graphs, the notion of matching forest was proposed as a common generalization of matchings and branchings. In this paper, we propose the notion of mixed edge cover as a covering counterpart of matching forest, and extend the matching--covering framework to mixed graphs. While algorithmic and polyhedral results extend fairly easily, partition problems are considerably more difficult in the mixed case. We address the problems of partitioning a mixed graph into matching forests or mixed edge covers, so that all parts are equal with respect to some criterion, such as edge/arc numbers or total sizes. Moreover, we provide the best possible multicriteria equalization.

研究动机与目标

• 通过引入匹配森林的覆盖对偶，将无向图中的经典匹配–覆盖对偶性推广至混合图。
• 解决混合图中的等权划分问题，要求边与弧在各部分之间实现平衡。
• 在划分为匹配森林或混合边覆盖时，实现最优的多准则均衡化，最小化大小差异。
• 将已知的关于匹配与分支的等权划分结果推广至更复杂的混合图设置。

提出的方法

• 将混合边覆盖定义为 F ⊆ E ∪ A 的子集，使得每个顶点均可通过 F ∩ A 中的有向路径，从某个 e ∈ F ∩ E 的端点到达。
• 证明最小混合边覆盖与最小混合覆盖森林在包含关系下等价，从而在优化中可互换使用。
• 将最小权混合边覆盖问题约化为辅助图中的完美匹配森林优化问题，实现多项式时间求解。
• 采用两阶段算法框架，迭代平衡k个不相交子结构（匹配森林或混合边覆盖）在各部分中的大小。
• 利用多面体技术与全对偶整数性，推导出混合边覆盖多面体的凸包描述。
• 应用基于格的重划分技术，实现有界大小差异：对混合边覆盖，||Fi| − |Fj|| ≤ 2 且 ||Ni| − |Nj|| ≤ 1；对匹配森林，对称地有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过引入自然的覆盖结构，将无向图中匹配–覆盖对偶性推广至混合图？
• RQ2 在混合图中，将图划分为k个匹配森林或混合边覆盖时，关于边、弧与总大小的最优等权划分为何？
• RQ3 当混合结构耦合了边与弧的约束，无法独立平衡时，如何实现等权划分？
• RQ4 能否保证在所有部分中，对匹配森林与混合边覆盖均实现最优大小平衡（差异≤1或≤2）？
• RQ5 哪些结构与算法性质可确保在混合图中存在等权划分，并可高效计算？

主要发现

• 引入了混合边覆盖作为匹配森林的覆盖对偶，广义化了无向图中的边覆盖与有向图中的双分支。
• 通过约化为辅助图中的完美匹配森林问题，可在多项式时间内求解最小权混合边覆盖问题。
• 混合边覆盖多面体是全对偶整数的，将Schrijver关于匹配森林的结果推广至混合设置。
• 对于可划分为k个匹配森林的任意混合图，存在一种重划分方式，使得对所有 i, j，有 |Fi| − |Fj| ∈ {−1, 0, 1}。
• 对于混合边覆盖，等权划分可实现 ||Fi| − |Fj|| ≤ 2 且 ||Ni| − |Nj|| ≤ 1，其中 |Fi| 与 |Ni| 分别表示总大小与边大小。
• 通过结构等价性，结果可推广至混合覆盖森林与双分支，获得类似大小平衡界，仅需对界作微调。