[论文解读] Equivalence of critical and subcritical sharp Trudinger-Moser-Adams inequalities

Nguyen Lam, Guozhen Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文建立了欧氏空间中临界与次临界尖锐 Trudinger-Moser-Adams 不等式之间的等价性，证明了两种情况下最佳常数和上确界渐近行为完全相同。作者通过尺度变换与对称化技巧，表明一种类型的结论可转移至另一种类型，从而为 Sobolev 空间中这些不等式的统一研究提供了框架。

ABSTRACT

Sharp Trudinger-Moser inequalities on the first order Sobolev spaces and their analogous Adams inequalities on high order Sobolev spaces play an important role in geometric analysis, partial differential equations and other branches of modern mathematics. Such geometric inequalities have been studied extensively by many authors in recent years and there is a vast literature. There are two types of such optimal inequalities: critical and subcritical sharp inequalities, both are with best constants. Critical sharp inequalities are under the restriction of the full Sobolev norms for the functions under consideration, while the subcritical inequalities are under the restriction of the partial Sobolev norms for the functions under consideration. There are subtle differences between these two type of inequalities. Surprisingly, we prove in this paper that these critical and subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities are actually equivalent. Moreover, we also establish the asymptotic behavior of the supremum for the subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities on the entire Euclidean spaces (Theorem 1.1 and Theorem 1.3) and provide a precise relationship between the supremums for the critical and subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities (Theorem 1.2 and Theorem 1.4).

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：临界与次临界尖锐 Trudinger-Moser-Adams 不等式在最佳常数与极值行为方面是否等价。
• 建立整个欧氏空间上次临界 Trudinger-Moser 与 Adams 不等式上确界的渐近行为。
• 提供临界与次临界不等式上确界之间精确的定量关系，实现两种情形下结论的相互转移。
• 建立一种新方法论框架，通过其等价性，实现临界不等式与次临界不等式之间的相互证明。
• 深化对高阶 Sobolev 范数与指数型 Orlicz 范数嵌入定理中极值函数与最佳常数的理解。

提出的方法

• 使用对称化与重排技术，特别是 Schwarz 重排，将一般函数转化为具有相同 $ L^p $-范数与梯度范数的径向对称函数。
• 应用 Pólya-Szegö 不等式控制重排后的梯度 $ L^N $-范数，同时保持完整 Sobolev 范数的约束。
• 采用尺度变换 $ v(x) = u(\theta^{-1}x)/\theta $ 将梯度范数归一化为 1，从而建立次临界与临界情形之间的联系。
• 引入泛函 $ GATA(\alpha, \beta) $ 以分析带权 Trudinger-Moser 型积分 $ |x|^{-\beta} $，这对处理 Adams 型不等式至关重要。
• 使用分层蛋糕表示与 Young 函数分解，分析定义 Orlicz 空间范数的指数型积分 $ \phi_N(t) = e^t - \sum_{j=0}^{N-2} \frac{t^j}{j!} $。
• 通过与已知最佳常数 $ \beta_0(N,\gamma) $ 比较，建立一致有界性，利用 $ \mathbb{R}^N $ 中的齐次性与尺度不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界与次临界尖锐 Trudinger-Moser-Adams 不等式中的最佳常数是否相同？
• RQ2 当指数趋近临界阈值时，次临界 Trudinger-Moser 与 Adams 不等式上确界的精确渐近行为是什么？
• RQ3 临界情形下极值函数的存在性是否可用于推断次临界情形的结果，反之亦然？
• RQ4 临界与次临界不等式上确界值之间的定量关系是什么？
• RQ5 在高阶 Sobolev 空间 $ W^{\gamma,p}(\mathbb{R}^N) $ 中，临界与次临界不等式之间的等价性是否成立？

主要发现

• 临界与次临界尖锐 Trudinger-Moser-Adams 不等式在最佳常数与上确界渐近行为完全相同的意义上是等价的。
• 在 $ \mathbb{R}^N $ 上，次临界 Trudinger-Moser 不等式的上确界随着 $ \alpha \uparrow \alpha_N $ 而收敛至临界上确界，其收敛速率由参数 $ a, b $ 与 $ N $ 精确确定。
• 对于 $ W^{\gamma, N/\gamma}(\mathbb{R}^N) $ 上的 Adams 不等式，加权积分 $ \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\phi_{N,\gamma}(\beta_0(N,\gamma)(1-\beta/N)|u|^{p/(p-1)})}{|x|^\beta} dx $ 的上确界被一个仅依赖于 $ N, \beta, a, b $ 的常数一致有界，且与 $ \alpha $ 无关。
• 证明表明，若次临界上确界在 $ \alpha \to \beta(N,2) $ 时趋于无穷，则与临界情形的有界性矛盾，从而通过反证法证明了等价性。
• 该等价性允许结论的相互转移：若在某一设定下临界不等式更易证明，则次临界情形的结论随之成立，反之亦然。
• 该方法为证明临界与次临界不等式提供了新途径，通过尺度变换与归一化，将两者相互约化。