[论文解读] Equivalence of the logarithmically averaged Chowla and Sarnak conjectures

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Analytic Number Theory Research被引用 5

一句话总结

本文建立了对数平均化的Chowla猜想与对数平均化的Sarnak猜想之间的逻辑等价性，表明二者均等价于Liouville函数的局部Gowers均匀性。通过熵衰减论证和Gowers范数的逆猜想，作者证明了这些此前被认为独立的猜想实际上具有深刻联系，推动了数论与动力系统中乘法函数及其伪随机性的理解。

ABSTRACT

Let $λ$ denote the Liouville function. The Chowla conjecture asserts that $$ \sum_{n \leq X} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) \dots λ(a_k n + b_k) = o_{X o \infty}(X) $$ for any fixed natural numbers $a_1,a_2,\dots,a_k$ and non-negative integer $b_1,b_2,\dots,b_k$ with $a_ib_j-a_jb_i eq 0$ for all $1 \leq i < j \leq k$, and any $X \geq 1$. This conjecture is open for $k \geq 2$. As is well known, this conjecture implies the conjecture of Sarnak that $$ \sum_{n \leq X} λ(n) f(n) = o_{X o \infty}(X)$$ whenever $f : {\bf N} o {\bf C}$ is a fixed deterministic sequence and $X \geq 1$. In this paper, we consider the weaker logarithmically averaged versions of these conjectures, namely that $$ \sum_{X/ω\leq n \leq X} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) \dots λ(a_k n + b_k)}{n} = o_{ω o \infty}(\log ω) $$ and $$ \sum_{X/ω\leq n \leq X} \frac{λ(n) f(n)}{n} = o_{ω o \infty}(\log ω)$$ under the same hypotheses on $a_1,\dots,a_k,b_1,\dots,b_k$ and $f$, and for any $2 \leq ω\leq X$. Our main result is that these latter two conjectures are logically equivalent to each other, as well as to the "local Gowers uniformity" of the Liouville function. The main tools used here are the entropy decrement argument of the author used recently to establish the $k=2$ case of the logarithmically averaged Chowla conjecture, as well as the inverse conjecture for the Gowers norms, obtained by Green, Ziegler, and the author.

研究动机与目标

• 建立对数平均化Chowla猜想与Sarnak猜想之间的逻辑等价性。
• 证明这两个猜想均等价于Liouville函数的局部Gowers均匀性。
• 加强对于乘法函数及其在数论与动力系统背景下伪随机性的理解。
• 为利用遍历理论与加法组合学工具分析Liouville函数提供统一框架。

提出的方法

• 利用熵衰减论证控制Liouville函数的相关性。
• 应用Gowers范数的逆猜想以刻画相关结构中非均匀性的函数。
• 采用尼尔序列表示来建模Sarnak猜想中的确定性序列。
• 使用幂零群中的多项式序列来逼近具有有界复杂度的确定性序列。
• 应用Baker–Campbell–Hausdorff公式以控制幂零群元素中的扰动。
• 通过构造大小有界的$ε$-网，建立尼尔序列集合的均匀零熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数平均化Chowla猜想与Sarnak猜想是否在逻辑上等价？
• RQ2 熵衰减论证能否扩展以证明涉及高阶相关性的猜想之间的等价性？
• RQ3 Liouville函数的局部Gowers均匀性是否与两个猜想均等价？
• RQ4 Sarnak猜想中的确定性序列能否被具有有界复杂度的尼尔序列一致逼近？
• RQ5 幂零群结构在刻画乘法函数伪随机性方面起什么作用？

主要发现

• 在给定的$a_i, b_i$与$f$条件下，对数平均化Chowla猜想与对数平均化Sarnak猜想在逻辑上等价。
• 该等价性对所有$k \geq 1$及所有$2 \leq \omega \leq X$成立，误差项为$o_{\omega \to \infty}(\log \omega)$。
• 这些猜想等价于Liouville函数的局部Gowers均匀性，意味着该函数在高阶相关和中表现出抵消效应。
• 熵衰减论证为证明对数平均化Chowla猜想的$k=2$情形提供了关键工具，这是主等价性的基础。
• Gowers范数的逆猜想使得具有非均匀相关性的函数可被结构化分解，从而与尼尔序列建立联系。
• 具有有界复杂度的尼尔序列集合具有均匀零熵，意味着其度量熵在$N$上亚指数增长。