[论文解读] Equivalent definitions of dyadic Muckenhoupt and Reverse Hölder classes in terms of Carleson sequences, weak classes, and comparability of dyadic $L\log L$ and $A_\infty$ constants

Oleksandra Beznosova, Alexander Reznikov|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过Carleson序列、弱类和Buckley型求和条件，建立了二进制Muckenhoupt（$A_\infty^d$）和逆Hölder（$RH_p^d$）类的等价刻画。引入了极限$RH_1^d$类，并利用Bellman函数技术证明了$A_\infty^d$与$RH_1^d$常数之间的精确可比较性，表明Buckley不等式刻画了$RH_1^d$权函数，且求和常数与相应的$A_\infty^d$和$RH_1^d$常数可比较。

ABSTRACT

In the dyadic case the union of the Reverse Hölder classes, $RH_p^d$ is strictly larger than the union of the Muckenhoupt classes $ A_p^d$. We introduce the $RH_1^d$ condition as a limiting case of the $RH_p^d$ inequalities as $p$ tends to 1 and show the sharp bound on $RH_1^d$ constant of the weight $w$ in terms of its $A_\infty^d$ constant. We also take a look at the summation conditions of the Buckley type for the dyadic Reverse Hölder and Muckenhoupt weights and deduce them from an intrinsic lemma which gives a summation representation of the bumped average of a weight. Our lemmata also allow us to obtain summation conditions for continuous Reverse Hölder and Muckenhoupt classes of weights and both continuous and dyadic weak Reverse Hölder classes. In particular, it shows that a weight belongs to the class $RH_1$ if and only if it satisfies Buckley's inequality. We also show that the constant in each summation inequality of Buckley's type is comparable to the corresponding Muckenhoupt or Reverse Hölder constant.

研究动机与目标

• 通过Carleson序列和求和条件，建立二进制Muckenhoupt类与逆Hölder类的等价定义。
• 定义并分析作为$RH_p^d$在$p \to 1^+$极限的极限$RH_1^d$类。
• 利用内在引理和Bellman函数，证明$A_\infty^d$与$RH_1^d$常数之间的精确可比较性。
• 表明Buckley型求和条件与$RH_1^d$和$A_\infty^d$类等价，且常数彼此可比较。
• 将这些结果推广至连续型和弱型逆Hölder与Muckenhoupt类。

提出的方法

• 使用Bellman函数技术，证明二进制权函数的精确不等式，特别是关于bump平均和Carleson序列的不等式。
• 引入内在引理（引理II.2和引理II.4），通过求和条件表示权函数的bumped平均。
• 利用凸性和泛函分析，构造涉及$A_\infty^d$和$RH_1^d$常数的不等式的Bellman函数。
• 通过分析二进制区间上平均行为，推导出连续型与二进制权函数的求和条件。
• 通过在Bellman函数定义域上进行顶点分析，证明Buckley型不等式中的常数与相应$A_\infty^d$和$RH_1^d$范数之间的可比较性。
• 使用函数$g(\alpha) = \frac{1}{f^{-1}(\alpha)}$和恒等式$f(s) = \frac{1}{s} - \log \frac{1}{s} - 1$，在Bellman函数框架下分析极端情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Carleson序列和求和条件等价刻画二进制$RH_1^d$类？
• RQ2 权函数的$A_\infty^d$与$RH_1^d$常数之间存在何种精确关系？
• RQ3 Buckley型求和条件是否等价于$RH_1^d$和$A_\infty^d$权函数的实际常数？这些常数是否可比较？
• RQ4 Bellman函数方法能否内在地用于推导一般非负函数在二进制区间上的bump平均表示？
• RQ5 连续型与二进制弱逆Hölder和Muckenhoupt类之间有何关系？何种求和条件可刻画它们？

主要发现

• $RH_1^d$类严格大于$\bigcup_{p>1} RH_p^d$，且其由精确界$\|w\|_{RH_1^d} \lesssim \|w\|_{A_\infty^d}$刻画，该常数为最优。
• 当且仅当权函数满足Buckley不等式时，其属于$RH_1^d$，从而建立了完全等价性。
• Buckley型求和条件中的常数与相应的$A_\infty^d$和$RH_1^d$常数可比较，且该比较关系对所有权函数和区间一致成立。
• 内在引理（引理II.2和引理II.4）为任意非负函数$w$在二进制区间上的bumped平均提供了通用表示框架。
• 定理I.5的证明建立了$A_\infty^d$与$RH_1^d$常数之间的精确可比较性，其中Bellman函数方法用于验证定义域边界上的全局最小值。
• 本文表明，连续型与二进制$A_\infty$和$RH_1$类存在差异：在二进制情形下，$RH_1^d$严格大于$\bigcup_{p>1} RH_p^d$，而在连续情形下并非如此。