[论文解读] Equivariant Cohomology and Gauged Bosonic sigma-Models

José Figueroa-O’Farrill, Sonia Stanciu|ArXiv.org|Jul 22, 1994

Algebraic structures and combinatorial models被引用 21

一句话总结

本文使用目标空间的等变上同调重新表述了在d维玻色子sigma模型中规范化Wess-Zumino项的障碍，将该障碍识别为等变上同调子复形中的类。它证明了在低维（d ≤ 4）下紧致与非紧致半单李群的消去定理，保证在目标流形的拓扑条件下障碍的不存在性，并通过这一同调框架推广了已知的拓扑项。

ABSTRACT

We re-examine the problem of gauging the Wess-Zumino term of a d-dimensional bosonic sigma-model. We phrase this problem in terms of the equivariant cohomology of the target space and this allows for the homological analysis of the obstruction. As a check, we recover the obstructions of Hull and Spence and also a generalization of the topological terms found by Hull, Rocek and de Wit. When the symmetry group is compact, we use topological tools to derive vanishing theorems which guarantee the absence of obstructions for low dimension (d<=4) but for a variety of target manifolds. For example, any compact semisimple Lie group can be gauged in a three-dimensional sigma-model with simply connected target space. When the symmetry group is semisimple but not necessarily compact, we argue in favor of the persistence of these vanishing theorems by making use of (conjectural) equivariant minimal models (in the sense of Sullivan). By way of persuasion, we construct by hand a few such equivariant minimal models, which may be of independent interest. We illustrate our results with two examples: d=1 with a symplectic target space, and d=2 with target space a Lie group admitting a bi-invariant metric. An alternative homological interpretation of the obstruction is obtained by a closer study of the Noether method. This method displays the obstruction as a class in BRST cohomology at ghost number 1. We comment on the relationship with consistent anomalies.

研究动机与目标

• 确定d维玻色子sigma模型中规范化Wess-Zumino项障碍背后的精确上同调结构。
• 推导先验消去定理，以保证在大量目标流形与对称群下障碍的不存在性。
• 通过等变上同调框架推广Hull、Roècek与de Wit发现的已知拓扑项。
• 通过猜想的等变极小模型将分析扩展至非紧致半单群。
• 通过BRST方法提供障碍的同调解释，将其与ghost数1处的上同调联系起来。

提出的方法

• 将规范化问题表述为对目标流形的等变上同调，将规范不变性视为群作用下的等变性。
• 使用Weil代数与Weil同态在de Rham模型中实现等变上同调，将规范不变项识别为等变上循环。
• 定义一个等变形式的子复形，障碍位于其中，表明其作为长正合序列中上同调群的连接同态的像而出现。
• 应用拓扑工具，包括Leray谱序列，计算等变上同调并推导紧致群的消去定理。
• 引入等变极小模型的概念，以将消去定理扩展至非紧致半单群。
• 使用BRST方法重新解释障碍，将其识别为ghost数1处的BRST上同调类。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么上同调结构控制着d维玻色子sigma模型中规范化Wess-Zumino项障碍？
• RQ2 在目标流形与对称群满足何种拓扑条件时，障碍消失，特别是当d ≤ 4时？
• RQ3 如何在等变上同调框架中恢复并推广Hull、Roècek与de Wit发现的已知拓扑项？
• RQ4 能否通过等变极小模型将紧致群的消去定理扩展至非紧致半单群？
• RQ5 BRST形式中障碍与等变上同调类之间有何关系？

主要发现

• 规范化Wess-Zumino项的障碍被识别为在目标空间等变上同调中的类，具体为长正合序列中连接同态作用于Wess-Zumino类的像。
• 对于紧致半单李群，在三维情况下，若目标空间单连通，则障碍消失。
• 在四维模型中，若目标空间为至多含一个U(1)因子的李群且该群无三次Casimir，则障碍消失。
• 在假设存在等变极小模型的前提下，非紧致半单群的消去定理依然成立，该假设得到了此类模型显式构造的支持。
• BRST方法确认障碍为ghost数1处的上同调类，提供了同调解释。
• 该框架推广并恢复了Hull、Roècek与de Wit发现的拓扑项，表明其源于等变上同调。