[论文解读] ERGMs are Hard.

Michael J. Bannister, William E. Devanny+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文证明，在指数随机图模型（ERGMs）中计算配分函数——这是估计网络概率的关键组成部分——在标准复杂度假设下属于#P难问题，且无法在指数比范围内近似。此外，论文进一步证明，使用社会学上合理的特征（如同质性混合与三角闭包）时，无法在随机多项式时间内生成接近给定ERGM分布的图。

ABSTRACT

We investigate the computational complexity of the exponential random graph model (ERGM) commonly used in social network analysis. This model represents a probability distribution on graphs by setting the log-likelihood of generating a graph to be a weighted sum of feature counts. These log-likelihoods must be exponentiated and then normalized to produce probabilities, and the normalizing constant is called the \emph{partition function}. We show that the problem of computing the partition function is $\mathsf{\#P}$-hard, and inapproximable in polynomial time to within an exponential ratio, assuming $\mathsf{P} eq \mathsf{NP}$. Furthermore, there is no randomized polynomial time algorithm for generating random graphs whose distribution is within total variation distance $1-o(1)$ of a given ERGM. Our proofs use standard feature types based on the sociological theories of assortative mixing and triadic closure.

研究动机与目标

• 分析指数随机图模型（ERGMs）中配分函数的计算复杂度，这是网络分析中统计推断的关键。
• 确定在配分函数对模型概率分布进行归一化的作用下，其是否可被高效近似。
• 研究使用随机多项式时间算法生成与给定ERGM分布高度匹配的随机图的可行性。
• 利用同质性混合与三角闭包等标准社会学特征，评估ERGM的复杂度，这些特征在经验网络建模中常被使用。

提出的方法

• 通过已知的#P完全问题进行归约，以证明ERGM配分函数的计算属于#P难问题。
• 基于社会学理论，使用标准ERGM特征——同质性混合与三角闭包——将计算困难性与现实世界网络模型联系起来。
• 应用复杂性理论假设（P ≠ NP），建立配分函数在指数比范围内的不可近似性边界。
• 通过反证法证明，不存在随机多项式时间算法，能够生成与目标ERGM分布的总变差距离为1−o(1)的图。
• 利用ERGM似然函数的归一化特性，即需要计算配分函数，将统计建模与计算复杂性联系起来。
• 对归一化常数（即配分函数）进行形式化分析，将其确立为ERGM推断与模拟中的核心计算瓶颈。

实验结果

研究问题

• RQ1 ERGM的配分函数是否可在多项式时间内计算？
• RQ2 在多项式时间内，配分函数是否可被近似到指数比范围内？
• RQ3 是否可以使用随机多项式时间算法，以高保真度从ERGM分布中生成随机图？
• RQ4 同质性混合与三角闭包等标准社会学特征是否导致ERGM的计算困难？
• RQ5 ERGM中统计推断与模拟的根本计算障碍是什么？

主要发现

• ERGM中配分函数的计算问题被证明为#P难，表明在大规模网络中精确计算是不可行的。
• 在假设P ≠ NP的前提下，配分函数无法在多项式时间内近似到指数比范围内。
• 不存在随机多项式时间算法，能够生成其分布与给定ERGM分布的总变差距离为1−o(1)的图。
• 即使使用同质性混合与三角闭包等标准社会学动机特征，计算困难性依然存在。
• 这些结果意味着ERGM中的精确推断与可靠模拟在根本上受限于计算复杂性。
• 在标准复杂度理论假设下，这些困难结果具有鲁棒性，适用于理论与实际的网络建模。