[论文解读] Ergodic Properties of weak Asymptotic Pseudotrajectories for Set-valued Dynamical Systems

Mathieu Faure, Grégory Roth|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文将弱渐近伪轨迹（WAPTs）的遍历理论从确定性流推广至集值动力系统（SVDS），证明了与WAPTs相关的经验测度的弱∗极限点几乎必然为SVDS的不变测度。其核心贡献将Benaïm与Schreiber（2000）关于WAPTs的结果扩展至微分包含及其他集值系统，建立了一个分析非光滑或多值动力系统长期统计行为的稳健框架。

ABSTRACT

A successful method to describe the asymptotic behavior of various deterministic and stochastic processes such as asymptotically autonomous differential equations or stochastic approximation processes is to relate it to an appropriately chosen limit semiflow. Bena\\"im and Schreiber (2000) define a general class of such stochastic processes, which they call weak asymptotic pseudotrajectories and study their ergodic behavior. In particular, they prove that the weak* limit points of the empirical measures associated to such processes are almost surely invariant for the associated deterministic semiflow. Bena\\"im, Hofbauer and Sorin (2005) generalised this approach to set-valued dynamical systems. We pursue the analogy by extending to these settings the ergodic properties of weak asymptotic pseudotrajectories.

研究动机与目标

• 将弱渐近伪轨迹（WAPTs）的遍历理论从确定性流推广至集值动力系统（SVDS），以建模具有多值动力的系统，如微分包含。
• 为连续时间SVDS定义不变测度与半不变测度，推广离散时间及确定性流中的相关概念。
• 证明沿WAPTs的经验测度的弱∗极限点几乎必然为底层SVDS的不变测度，将Benaïm与Schreiber（2000）的结果推广至非光滑动力系统。
• 为分析由微分包含所支配的随机逼近过程与扰动系统的长期统计行为提供理论基础。

提出的方法

• 为集值动力系统引入弱渐近伪轨迹（WAPTs）的严格定义，推广自确定性流中的概念。
• 基于连续时间动力与解空间上的前推测度，提出两种等价的SVDS不变测度定义。
• 应用沿轨迹的经验测度 μₜ(ω) = (1/t)∫₀ᵗ δ_{X(s,ω)} ds 研究统计收敛性。
• 使用拓扑与测度论技术，包括紧性与弱∗收敛，分析经验测度极限点的性质。
• 借助Miller与Akin（1999）以及Aubin、Frankowska与Lasota（1991）的结果，将Poincaré遍历性与不变性推广至SVDS。
• 利用Fubini定理与时间平移下的测度不变性，证明任意沿WAPT的经验测度的弱∗极限点均为SVDS的不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱渐近伪轨迹（WAPTs）的遍历行为能否从确定性流推广至集值动力系统（SVDS）？
• RQ2 连续时间集值动力系统的不变测度的恰当定义是什么？
• RQ3 沿WAPTs的经验测度的弱∗极限点是否在SVDS动力下保持不变，如同在确定性情形中一样？
• RQ4 在SVDS背景下，半不变性与不变性的关系如何？是否每个不变测度也都是半不变的？

主要发现

• 与集值动力系统相关的WAPTs的经验测度的弱∗极限点，几乎必然为该系统的不变测度。
• 集值动力系统的每个不变测度也都是半不变测度，确立了不变性概念的层级结构。
• 主要结果将Benaïm与Schreiber（2000）关于WAPTs的定理推广至SVDS，保持了极限测度在时间演化下的不变性。
• 证明依赖于Fubini定理与时间平移下的测度不变性，表明连续函数在时间上的积分在极限下保持不变。
• 该框架适用于相对于微分包含的随机逼近过程，其中路径是均场流的WAPTs。
• 经验测度族的紧性意味着，以概率1，该过程在SVDS的Birkhoff中心的任意小邻域内花费大部分时间。