[论文解读] Ergodicity of group actions and spectral gap, applications to random walks and Markov shifts

Jean-Pierre Conze, Yves Guivarc’h|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用 13

一句话总结

本文建立了与动力系统群扩张中随机游走相关的马尔可夫算子的谱隙性质，特别针对尼尔流形、齐性空间和运动群。通过在遍历性和群的（T）性质或密度条件下证明谱隙，推导出强遍历性、递归/常返性结果以及非紧扩张的局部极限定理，将经典随机游走理论推广至结构化的代数设定。

ABSTRACT

Let $(X, \\cal B, \ u)$ be a probability space and let $\\Gamma$ be a countable group of $\ u$-preserving invertible maps of $X$ into itself. To a probability measure $\\mu$ on $\\Gamma$ corresponds a random walk on $X$ with Markov operator $P$ given by $P\\psi(x) = \\sum_{a} \\psi(ax) \\, \\mu(a)$. A powerful tool is the spectral gap property for the operator $P$ when it holds. We consider various examples of ergodic $\\Gamma$-actions and random walks and their extensions by a vector space: groups of automorphisms or affine transformations on compact nilmanifolds, random walk in random scenery on non amenable groups, translations on homogeneous spaces of simple Lie groups, random walks on motion groups. The spectral gap property is applied to obtain limit theorems, recurrence/transience property and ergodicity for random walks on non compact extensions of the corresponding dynamical systems.

研究动机与目标

• 建立紧致尼尔流形和齐性空间上群作用的马尔可夫算子的谱隙性质。
• 通过谱隙将遍历性和递归性结果推广至动力系统的非紧扩张。
• 研究在群扩张上的随机游走模型中局部极限定理和轨道等分布性的有效性。
• 分析广义马尔可夫模型中不变方程 $ \tilde{\mu}*f = f $ 的有界解。
• 将经典随机游走结果推广至具有状态依赖转移概率和吉布斯测度而非乘积测度的系统。

提出的方法

• 谱隙性质通过马尔可夫算子 $ P $ 在 $ L_0^2(X,\nu) $ 上的限制的谱半径 $ r(\Pi_0) < 1 $ 定义，确保强遍历性。
• 论文使用酉表示和恒等表示的弱包含性来刻画 $ r(\Pi_0) < 1 $ 的条件，将其与群的（T）性质或群作用的密度联系起来。
• 对于尼尔流形，通过群结构和不变测度，将马尔可夫算子的遍历性归结为在最大环面商上的遍历性。
• 在单李群的齐性空间中，利用 $ SU(d) $ 的作用和 $ \Gamma \subset SU(d) $ 的密度性建立谱隙，并通过上循环分析处理仿射扩张。
• 作者利用平移的 $ L^2 $-连续性和可测上循环恒等式，证明特征的不变性和平凡性，从而导出谱隙。
• 对于随机环境中的随机游走和运动群，通过谱隙将框架扩展至非紧扩张，推导出极限定理和轨道行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{Z}^m $ 上的随机环境中随机游走（$ m \geq 3 $）且具有非紧扩张时，局部极限定理是否成立？
• RQ2 对于运动群 $ SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $，当 $ \Gamma \subset SU(d) $ 稠密且 $ d \geq 2 $ 时，局部极限定理是否有效？
• RQ3 在非紧扩张中，$ \tilde{\Gamma} $-轨道在向量空间 $ V $ 上的等分布行为如何？
• RQ4 在 $ G = SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 上，方程 $ \tilde{\mu}*f = f $ 的有界解是什么，其中 $ f \in L^\infty(\nu \otimes \ell) $？
• RQ5 谱隙结果能否推广至具有状态依赖转移概率 $ \mu(x,a) $ 或吉布斯测度而非乘积测度的马尔可夫模型？

主要发现

• 谱隙性质意味着强遍历性，且等价于在 $ \Gamma $ 于 $ L_0^2(X,\nu) $ 上的酉表示中，恒等表示不弱包含于其中。
• 对于尼尔流形，在适当的群作用下，马尔可夫算子 $ P $ 的遍历性可由其在最大环面商上的作用的遍历性推出。
• 当 $ \Gamma \subset SU(d) $ 稠密且具有（T）性质时，仿射扩张 $ \tilde{\Gamma} \subset SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 满足 $ \tilde{\Gamma} \cap \mathbb{C}^d $ 在 $ \mathbb{C}^d $ 中稠密，从而保证谱隙。
• 在自由群 $ \Gamma $ 的情况下，$ \tilde{\Gamma} \cap \mathbb{C}^d = \{0\} $，但 $ \tilde{\Gamma} $ 仍在 $ G $ 中稠密，保持谱隙和遍历性。
• 谱隙意味着非紧扩张上随机游走的递归/常返性结果，收敛速率由谱隙大小决定。
• 当谱隙存在且满足群作用和 $ \mu $ 的支集条件时，随机游走在 $ \mathbb{Z}^m $-扩张上的局部极限定理成立。