[论文解读] Ergodicity of regime-switching diffusions in Wasserstein distances

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文利用M-矩阵理论和Perron-Frobenius定理，建立了在Wasserstein距离下状态转移扩散过程的遍历性新准则。通过引入无限状态过程的有限划分方法，并利用李雅普诺夫型函数与矩阵分析推导矩界，该研究证明了在成本函数无界的情况下，有限与无限状态空间模型在Wasserstein距离下的指数收敛性。

ABSTRACT

Based on the theory of M-matrix and Perron-Frobenius theorem, we provide some criteria to justify the convergence of the regime-switching diffusion processes in Wasserstein distances. The cost function we used to define the Wasserstein distance is not necessarily bounded. The continuous time Markov chains with finite and countable state space are all studied. To deal with the countable state space, we put forward a finite partition method. The boundedness for state-dependent regime-switching diffusions in an infinite state space is also studied.

研究动机与目标

• 建立状态转移扩散过程在Wasserstein距离下指数遍历性的充分条件。
• 将现有结果从有界成本函数扩展至Wasserstein距离框架下的无界成本函数。
• 解决无限状态空间中状态依赖切换的挑战，其中标准方法失效。
• 开发有限划分方法以处理无界状态空间，并推导矩界。

提出的方法

• 利用M-矩阵理论与Perron-Frobenius定理分析Wasserstein距离下的收敛性。
• 基于漂移系数增长速率，对无限状态空间进行有限划分。
• 在划分后的状态空间上定义粗粒度Q-矩阵 $ Q^F $ 以近似转移速率。
• 对李雅普诺夫函数 $ \rho(|x|)\xi_\Lambda $ 应用伊tô公式，其中 $ \xi $ 由M-矩阵解导出。
• 通过满足 $ (Q^F + \mathrm{diag}(\theta_i^F))H_{m+1}\eta^F \ll 0 $ 的向量 $ \xi^F $ 建立矩界。
• 在 $ -(Q^F + \mathrm{diag}(\theta_i^F))H_{m+1} $ 为非奇异M-矩阵的条件下，推导出 $ \mathbb{E}[\rho(|X_t|)] $ 的指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，状态转移扩散过程会在Wasserstein距离下收敛到其平稳测度？
• RQ2 如何将遍历性准则从有界成本函数扩展至Wasserstein度量下的无界成本函数？
• RQ3 可采用何种技术分析无限状态空间中状态转移扩散过程的遍历性？
• RQ4 有限划分方法能否有效近似无限状态切换过程的行为？
• RQ5 M-矩阵与Perron-Frobenius理论如何促进在Wasserstein距离下证明指数收敛？

主要发现

• 该论文通过M-矩阵条件，证明了在有限状态空间下，状态独立状态转移扩散过程在Wasserstein距离下的指数遍历性。
• 建立了适用于无界成本函数的Wasserstein距离收敛性通用准则，扩展了以往要求有界成本的结论。
• 对于无限状态空间，有限划分方法使得粗粒度Q-矩阵 $ Q^F $ 的构造成为可能，从而可应用M-矩阵理论。
• 关键结果为：若 $ -(Q^F + \mathrm{diag}(\theta_i^F))H_{m+1} $ 为非奇异M-矩阵，则 $ \mathbb{E}[\rho(|X_t|)] \leq c_1 \mathbb{E}[\rho(|X_0|)] e^{-\alpha t} + c_2 $，表明矩的统一性与遍历性。
• 该方法在较弱假设下恢复了文献[8]中的开关型准则，同时允许无界成本函数。
• 该结果为无限状态空间中状态依赖状态转移扩散过程的矩有界性与Wasserstein距离收敛性提供了可验证的条件。