[论文解读] Error analysis for a finite difference scheme for axisymmetric mean curvature flow of genus-0 surfaces

Klaus Deckelnick, Robert Nürnberg|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于 genus-0 曲面轴对称平均曲率流的有限差分格式，通过仔细处理边界以解决旋转轴处的退化问题。该方法在离散 L2 和 H1 范数下建立了最优误差界，并通过数值收敛实验以及自相似收缩解和非嵌入曲面的模拟得到验证。

ABSTRACT

We consider a finite difference approximation of mean curvature flow for axisymmetric surfaces of genus zero. A careful treatment of the degeneracy at the axis of rotation for the one dimensional partial differential equation for a parameterization of the generating curve allows us to prove error bounds with respect to discrete $L^2$- and $H^1$-norms for a fully discrete approximation. The theoretical results are confirmed with the help of numerical convergence experiments. We also present numerical simulations for some genus-0 surfaces, including for a non-embedded self-shrinker for mean curvature flow.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且精确的有限差分格式，用于轴对称平均曲率流下的 genus-0 曲面，这些曲面为与轴垂直相交的开放曲线。
• 解决控制 PDE 在旋转轴处的退化问题，此时径向坐标消失，标准离散化方法失效。
• 尽管边界处存在奇异行为，仍为全离散有限差分格式在离散 L2 和 H1 范数下建立严格的误差估计。
• 通过光滑和奇异初始数据的数值收敛实验验证理论误差界。
• 展示该格式在非嵌入曲面上的鲁棒性，包括具有圆锥奇点的非嵌入自相似收缩解。

提出的方法

• 通过 DeTurck 技巧将平均曲率流表述为径向与轴向坐标下生成曲线的一维 PDE，以实现严格抛物性。
• 将 PDE 转化为散度形式，以支持自然的变分公式和稳定的有限差分离散化。
• 采用半隐式后向欧拉时间离散化，并结合空间上的分段线性有限差分法，以确保稳定性。
• 通过洛必达法则推导速度和曲率项的一致边界条件，以妥善处理轴处的奇点。
• 使用坐标变换和轴附近网格加密，以保持精度并防止网格缠结。
• 实现具有均匀空间和时间网格的全离散格式，并通过数值实验验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 genus-0 曲面轴对称平均曲率流中，考虑到轴处的退化，能否为有限差分格式建立最优误差界？
• RQ2 如何在数值上处理旋转轴处 PDE 的奇点，以保持精度与稳定性？
• RQ3 该有限差分格式在非嵌入曲面及违反 90° 接触角条件的初始数据下是否仍保持收敛性与稳定性？
• RQ4 该格式能否准确模拟自相似收缩解，例如具有圆锥奇点的非嵌入自相似收缩解？
• RQ5 该格式在离散 L2 和 H1 范数下的收敛速率是多少？是否与理论预测一致？

主要发现

• 尽管在轴处存在退化，仍为全离散有限差分格式证明了离散 L2 和 H1 范数下的最优误差界。
• 数值实验表明，空间二阶收敛、时间一阶收敛，J = 512 且 Δt = 10−4 时结果一致。
• 曲面面积随时间线性衰减，熄灭时间约为 1.0，与自相似收缩解的理论预期一致。
• 该格式成功处理了具有圆锥奇点的非嵌入初始数据：外向圆锥迅速平滑，内向圆锥演化为一个收缩的半圆。
• 即使初始时违反 90° 接触角条件，数值解在极限下仍满足该条件，表现出鲁棒性与自校正能力。
• 通过洛必达法则推导一致边界条件，将理论分析扩展至 genus-0 曲面，实现了此前方法无法达到的误差控制。