[论文解读] Error correction schemes for fully correlated quantum channels protecting both quantum and classical information

Chi-Kwong Li, Seth Lyles+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种针对完全相关量子信道的高效量子纠错方案，通过最少数量的CNOT门保护量子与经典信息。对于奇数n=2k+1，单个量子比特使用3k个CNOT门编码数据；对于偶数n=2k+2，采用双经典比特方案，使用3k+2个CNOT门和一个Hadamard门，通过逆编码与部分迹操作实现恢复，该方案已在Qiskit和IBM量子硬件上完成验证。

ABSTRACT

We study efficient quantum error correction schemes for the fully correlated channel on an $n$-qubit system with error operators that assume the form $σ_x^{\otimes n}$, $σ_y^{\otimes n}$, $σ_z^{\otimes n}$. Previous schemes are improved to facilitate implementation. In particular, when $n$ is odd and equals $2k+1$, we describe a quantum error correction scheme using one arbitrary qubit $σ$ to protect the data state $ρ$ in a $2k$-qubit system. The encoding operation $σ\otimes ρ\mapsto Φ(σ\otimes ρ)$ only requires $3k$ CNOT gates (each with one control bit and one target bit). After the encoded state $Φ(σ\otimes ρ)$ goes through the channel, we can apply the inverse operation $Φ^{-1}$ to produce $ ilde σ\otimes ρ$ so that a partial trace operation can recover $ρ$. When $n$ is even and equals $2k+2$, we describe a hybrid quantum error correction scheme using any one of the two classical bits $σ\in \{|ij angle \langle ij|: i, j \in \{0,1\}\}$ to protect a $2k$-qubit state $ρ$ and 2 classical bits. The encoding operation $σ\otimes ρ\mapsto Φ(σ\otimes ρ)$ can be done by $3k+2$ CNOT gates and a single quibt Hadamard gate. After the encoded state $Φ(σ\otimes ρ)$ goes through the channel, we can apply the inverse operation $Φ^{-1}$ to produce $σ\otimes ρ$ so that a perfect protection of the two classical bits $σ$ and the $2k$-qubit state is achieved. If one uses an arbitrary $2$-qubit state $σ$, the same scheme will protect $2k$-qubit states. The scheme was implemented using Matlab, Mathematica, Python, and the IBM's quantum computing framework qiskit.

研究动机与目标

• 为完全相关量子信道开发高效的量子纠错方案，以同时保护量子与经典信息。
• 减少此类信道中编码与解码所需的量子门数量，特别是最小化CNOT门数量。
• 通过酉变换和部分迹恢复，提供编码与解码操作的显式构造。
• 使用Qiskit在真实量子硬件上实现并验证这些方案，比较不同IBM量子处理器上的性能表现。
• 解决在无 syndrome 测量情况下实现纠错的挑战，重点关注门分解与数值稳定性。

提出的方法

• 对于奇数n=2k+1，该方案使用一个辅助量子比特σ对2k量子比特态ρ进行编码，编码操作Φ(σ⊗ρ)仅需3k个CNOT门。
• 对于偶数n=2k+2，采用混合方案，使用两个经典比特σ∈{|00⟩⟨00|,|01⟩⟨01|,|10⟩⟨10|,|11⟩⟨11|}和一个Hadamard门，编码过程需要3k+2个CNOT门。
• 编码操作Φ(σ⊗ρ)的设计使得经过信道后，通过逆操作Φ⁻¹可恢复σ⊗ρ，从而借助部分迹实现对经典与量子信息的完美恢复。
• 该方案依赖Knill-Laflamme条件以及误差算符Xₙⁿ, Yₙⁿ, Zₙⁿ的代数性质，以确保可纠正的错误。
• 使用Matlab、Mathematica和Python进行数值验证，矩阵范数确认了方案的精确性或机器精度水平的正确性。
• 在IBM的ibmqx4（Tenerife）和ibmqx2（Yorktown）处理器上开展实验验证，比较了不同输入态下的误码率与保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖syndrome测量或复杂辅助量子比特结构的情况下，实现对完全相关信道的高效量子纠错？
• RQ2 在完全相关Pauli-X、Y、Z错误下，编码与解码一个2k量子比特态所需的最少CNOT门数量是多少？
• RQ3 在编码中引入经典比特如何提升对相关噪声下经典与量子信息的保护能力？
• RQ4 为何在实验实现中某些量子比特（如q₁）表现出比预期更高的误码率，即使编码是对称的？
• RQ5 所提出的方案是否可在具有高保真度的现实噪声中等规模量子（NISQ）设备上可靠实现？

主要发现

• 对于奇数n=2k+1，该方案仅使用3k个CNOT门即可对2k量子比特态实现完美恢复，通过部分迹操作实现，数值验证显示偏差范数精确为零。
• 对于偶数n=2k+2，混合方案使用3k+2个CNOT门和一个Hadamard门，可实现对两个经典比特和一个2k量子比特态的完美恢复。
• Mathematica中的数值模拟确认了即使包含Hadamard门，方案仍保持完全正确；而Matlab与Python的模拟结果在机器精度水平下存在误差。
• 在IBM的ibmqx4和ibmqx2上的实验结果表明，Tenerife（ibmqx4）在保真度方面优于Yorktown（ibmqx2），尤其在输入00和01时表现更优，而Yorktown表现出更高的门操作与读出误差。
• 在5量子比特实验中，两台设备均未产生有效结果，表明当前噪声硬件在扩展该方案时存在局限性。
• 系统性误差被观察到：第二个量子比特（q₁）在所有情况下均表现出高于预期的误码率，即使在恒等信道下也持续存在，表明存在与硬件相关的噪声模式。