[论文解读] Errors-in-variables models: a generalized functions approach

Victoria Zinde‐Walsh|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文使用温和分布空间中的广义函数，重新审视误差变量模型中的非参数与半参数可识别性。它在弱于以往研究的假设下建立了可识别性，避免了对有缺陷的分解定理的依赖，并在 $L_1$ 空间中构建了一个一致的非参数插补估计器，同时证明了在无需测量误差具有矩生成函数的条件下，仍可实现半参数可识别性。

ABSTRACT

Identification in errors-in-variables regression models was recently extended to wide models classes by S. Schennach (Econometrica, 2007) (S) via use of generalized functions. In this paper the problems of non- and semi- parametric identification in such models are re-examined. Nonparametric identification holds under weaker assumptions than in (S); the proof here does not rely on decomposition of generalized functions into ordinary and singular parts, which may not hold. A consistent nonparametric plug-in estimator for regression functions in the space of absolutely integrable functions constructed. Semiparametric identification via a finite set of moments is shown to hold for classes of functions that are explicitly characterized; unlike (S) existence of a moment generating function for the measurement error is not required.

研究动机与目标

• 使用温和分布重新表达并强化误差变量模型中的非参数可识别性。
• 纠正基于广义函数分解的先前识别证明中的缺陷，特别是关于将广义函数唯一分解为正则部分与奇异部分的无效假设。
• 建立识别映射连续的条件，从而实现一致估计。
• 在 $L_1$ 空间中构建回归函数的一致非参数插补估计器。
• 在不需测量误差具有矩生成函数的条件下，通过有限矩实现半参数可识别性。

提出的方法

• 使用温和分布空间 $\mathcal{S}'$ 广义化傅里叶变换，以处理无界或奇异的回归函数。
• 在 $\mathcal{S}'$ 中应用卷积定理，将模型转化为涉及 $W_y$、$W_{xy}$、$g$ 的傅里叶变换及特征函数 $\phi$ 的方程组。
• 通过在 $\mathcal{S}'$ 中求解 $\varepsilon_y(\zeta) = \gamma(\zeta)\phi(\zeta)$ 和 $i\varepsilon_{xy}(\zeta) = \dot{\gamma}(\zeta)\phi(\zeta)$ 来实现识别。
• 避免依赖广义函数分解为普通部分与奇异部分的方法，因为该方法在 $\mathcal{S}'$ 中通常不成立。
• 通过改进加权函数构造，避免在零点处导数消失的问题，纠正了 Schennach (2007) 中的缺陷。
• 在 $g$、$W_y$ 和 $W_{xy}$ 满足可积性条件时，建立识别映射的连续性，从而实现一致估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 与 Schennach (2007) 相比，误差变量模型中的非参数可识别性是否可在更弱的假设下建立？
• RQ2 在该背景下，将广义函数分解为正则部分与奇异部分是否有效且必要？
• RQ3 是否可在不依赖逐点傅里叶变换定义的前提下，在 $L_1$ 空间中构建一致的非参数插补估计器？
• RQ4 在不需测量误差具有矩生成函数的条件下，半参数可识别性是否仍成立？
• RQ5 所提出的识别策略中，广义函数空间内的乘积运算是否有效？

主要发现

• 非参数可识别性在弱于 Schennach (2007) 的假设下成立，具体为满足可积性条件 $\int (1+t^2)^{-l} |b(t)| dt < \infty$（对某个 $l \geq 0$）。
• 该证明不依赖于广义函数分解为普通部分与奇异部分的方法，因为该方法在 $\mathcal{S}'$ 中通常不具普遍有效性。
• 提供了识别映射连续的条件，确保估计器在扰动下的稳定性。
• 在 $L_1$ 空间中构建了回归函数 $g$ 的一致非参数插补估计器。
• 在不需测量误差具有矩生成函数的条件下，对显式表征的函数类，通过有限阶矩建立了半参数可识别性。
• 证明了 Schennach (2007) 提出的加权函数在零点处趋于零，因此不适用于识别，并提供了修正后的构造方法。