[论文解读] Estimate for Initial MacLaurin Coefficients of Certain Subclasses of Bi-univalent Functions

Pranay Goswami, Badr S. Alkahtani+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Mar 16, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文通过卷积与具有有界边界旋转的类 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 的系数界限，建立了由核函数 $ k(z) $ 定义的某些双等值函数子类的第二和第三麦克劳林系数 $ a_2 $ 和 $ a_3 $ 的精确估计。关键贡献在于提出一个通用框架，推广并改进了 Srivastava 等人先前的结果，尤其适用于双星型和双凸函数。

ABSTRACT

In this paper, estimates for second and third MacLaurin coefficients of certain subclasses of bi-univalent functions in the open unit disk defined by convolution are determined, and certain special cases are also indicated. The main result extends and improve a recent one obtained by Srivastava et al.

研究动机与目标

• 推导通过卷积定义的新子类中双等值函数的第二和第三泰勒-麦克劳林系数 $ a_2 $ 和 $ a_3 $ 的精确上界。
• 推广并改进近期关于双等值函数的系数估计，特别是 Srivastava 等人 [12] 的结果。
• 引入并分析两个新子类：$ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 和 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $，基于与核函数 $ k \in \sigma $ 的卷积。
• 通过将双星型和双凸函数作为所提类的特例，统一并扩展现有相关结果。
• 在 $ k_2, k_3 $ 非退化条件下，以核系数 $ k_2, k_3 $、参数 $ \beta $ 和指标 $ m \geq 2 $ 表示 $ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的显式可计算上界。

提出的方法

• 通过与固定核函数 $ k \in \sigma $ 的哈达玛（卷积）积，定义双等值函数的两个新子类：$ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 和 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $。
• 利用具有有界边界旋转的类 $ \mathcal{P}_m(\beta) $，其中 $ \operatorname{Re} P(z) > \beta $，且相关测度的总变差受 $ m $ 限制。
• 推导 $ (f*k)(z)/z $、$ (g*k)(w)/w $ 及其对数导数的级数展开，其中 $ g = f^{-1} $，以将系数估计与 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 类关联。
• 对对数导数的卷积积应用已知的系数界 $ |h_n| \leq m(1 - \beta) $，适用于 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 中的函数。
• 通过代数消去与代入，求解关于 $ a_2 $ 和 $ a_3 $ 的方程组，以核系数 $ k_2, k_3 $ 和参数 $ \alpha, \beta, m $ 表示。
• 将推导出的表达式与 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 的系数界限结合，得到在 $ k_2, k_3 $ 非退化条件下的 $ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于通过卷积定义的双等值函数子类 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $，第二和第三麦克劳林系数 $ a_2 $ 和 $ a_3 $ 的精确估计是什么？
• RQ2 涉及参数 $ \alpha $ 的广义类 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ 的系数估计如何依赖于核函数 $ k $ 以及参数 $ \alpha, \beta, m $？
• RQ3 所推导的 $ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的上界如何推广并改进 Srivastava 等人 [12] 关于双星型和双凸函数的结果？
• RQ4 在非退化条件下，$ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 关于核系数 $ k_2, k_3 $ 以及参数 $ \alpha, \beta, m $ 的显式表达式是什么？
• RQ5 当 $ 2(1+2\alpha)k_3 - (1+3\alpha)k_2^2 \neq 0 $ 时，核函数 $ k $ 的何种条件下，$ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ 的系数估计仍然有效？

主要发现

• 对于类 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $，$ |a_2| $ 的界为 $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ |k_2| } \right\} $，该结果源于卷积与 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 约束。
• 对于 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $，$ |a_3| $ 的界为 $ \min\left\{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } + \frac{m(1-\beta)}{2|k_3|}, \frac{m(1-\beta)(1 + m(1-\beta))}{2|k_3|}, \frac{m(1-\beta)}{2|k_3|} \left(1 + \frac{m(1-\beta)|4k_3 - k_2^2|}{|k_2|^2} \right) \right\} $，结合了多种估计。
• 对于子类 $ \mathcal{S}_m^k(\beta) $（对应于 $ \alpha = 0 $），$ |a_2| $ 的界为 $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ |k_2| } \right\} $，而 $ |a_3| $ 的界为三个涉及 $ m, \beta, k_2, k_3 $ 的表达式的最小值。
• 对于子类 $ \mathcal{C}_m^k(\beta) $（对应于 $ \alpha = 1 $），$ |a_2| $ 的界为 $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |6k_3 - 4k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ 2|k_2| } \right\} $，反映出参数 $ \alpha $ 对系数约束的影响。
• 在 $ \mathcal{C}_m^k(\beta) $ 中，$ |a_3| $ 的界为 $ \min\left\{ \frac{m(1-\beta)}{ |6k_3 - 4k_2^2| } + \frac{m(1-\beta)}{6|k_3|}, \frac{m(1-\beta)(1 + m(1-\beta))}{6|k_3|}, \frac{m(1-\beta)}{6|k_3|} \left(1 + \frac{m(1-\beta)|3k_3 - k_2^2|}{|k_2|^2} \right) \right\} $，显示出比 $ \alpha = 0 $ 情况更紧的约束。
• 结果推广并改进了 Srivastava 等人 [12] 的工作，尤其通过为基于卷积的双等值函数类提供统一的系数估计框架，并将适用函数的范围扩展至经典双星型和双凸函数之外。