[论文解读] Estimates of Potential functions of random walks on $Z$ with zero mean and infinite variance and their applications

Kôhei Uchiyama|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文为在 $ℤ$ 上具有零均值和无限方差的一维随机游走的势函数 $ a(x) $ 建立了精确的上下界，证明在增量分布尾部满足一定条件时，有 $ a(x) ∸ x/m(x) $。关键结果是：当右尾相对于左尾渐近可忽略时，有 $ a(-x)/a(x) \to 0 $（当 $ x \to \infty $），这使得能够获得精确的渐近估计，并应用于逃逸概率和上升高度稳定性问题。

ABSTRACT

Let $S_n =X_1+\cdots +X_n$ be an irreducible random walk (r.w.) on the one dimensional integer lattice with zero mean, infinite variance and i.i.d. increments $X_n$. We obtain an upper and lower bounds of the potential function, $a(x)$, of $S_n$ in the form $a(x)\asymp x/m(x)$ under a reasonable condition on the distribution of $X_n$; we especially show that as $x o\infty$ $$a(x) \asymp \frac{x}{m_-(x)} \quad\mbox{and}\quad \frac{a(-x)}{a(x)} o 0 \quad\;\;\mbox{if}\quad \lim_{x o +\infty} \frac{m_+(x)}{m_-(x)} =0,$$ where $m_\pm(x) = \int_0^xdy\int_y^\infty P[\pm X_1>u]du$ and $m=m_++m_-$. Under certain conditions on the tails of the distribution of $X$ we derive precise asymptotic forms of $a(x)$ as $x o +\infty$ or/and $-\infty$. The results are applied to derive a sufficient condition for the relative stability of the ladder height and estimates of some escape probabilities from the origin; we show among others that under the above condition on $m_+/m-$, $P[S_n>0] o 1/α$ if and only if the probability of exiting a long interval $[-Q,R]$ through the upper boundary converges to $λ^{α-1}$ as $Q/(Q+R) o λ$ for any $0

研究动机与目标

• 推导在 $ℤ$ 上零均值无限方差随机游走的势函数 $ a(x) $ 的精确渐近界。
• 根据函数 $ m(x) = m_+(x) + m_-(x) $（其中 $ m_\pm(x) = \int_0^x \eta_\pm(t)\,dt $，$ \eta_\pm(x) = \int_x^\infty P(\pm X > u)\,du $）刻画 $ \bar{a}(x) = \frac{1}{2}(a(x) + a(-x)) $ 的增长速率。
• 研究 $ a(-x)/a(x) \to 0 $ 成立的条件，揭示势函数在负轴上衰减的不对称性。
• 将势函数的界应用于推导首次上升高度相对稳定性的充分条件，并分析区间上的双侧首出问题。

提出的方法

• 分析基于势函数的定义 $ a(x) = \sum_{n=0}^\infty \big( P(S_n = 0) - P(S_n = -x) \big) $，其中 $ S_n $ 为具有独立同分布增量的随机游走。
• 引入关键泛函：$ m_\pm(x) = \int_0^x \eta_\pm(t)\,dt $，其中 $ \eta_\pm(x) = \int_x^\infty P(\pm X_1 > u)\,du $，且 $ m(x) = m_+(x) + m_-(x) $。
• 在条件 (H) 下，证明了 $ \bar{a}(x) \asymp x/m(x) $，该条件控制特征函数在零附近的性质：$ \delta_H = \liminf_{t \downarrow 0} \frac{\alpha(t) + |\gamma(t)|}{\eta(1/t)} > 0 $。
• 通过Tauber定理和更新测度的傅里叶分析（特别是正弦级数表示 $ u_x = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi S(\theta) \sin x\theta\,d\theta $）推导出 $ \bar{a}(x) $ 的上下界。
• 在增量分布尾部满足正规变体假设的条件下，利用关于慢变函数和更新理论的已知结果分析 $ a(x) $ 的渐近行为。
• 通过恒等式 $ g(x,y) = a(x) + a(-y) - a(x-y) $ 推导应用，该恒等式表达了吸收随机游走的格林函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，势函数 $ a(x) $ 满足当 $ x $ 较大时 $ a(x) \asymp x/m(x) $？
• RQ2 在什么条件下，有 $ a(-x)/a(x) \to 0 $（当 $ x \to \infty $），这又对增量分布尾部的不对称性意味着什么？
• RQ3 如何通过 $ a(x) $ 的渐近行为刻画首次上升高度的相对稳定性与区间逃逸概率之间的关系？
• RQ4 当增量分布的右尾相对于左尾可忽略时，$ a(x) $ 的精确渐近行为是什么？
• RQ5 条件 $ \int_1^\infty \frac{xP(X > x)}{m_-(x)}\,dx < \infty $ 是否可与首次上升高度的可积性相联系？

主要发现

• 势函数满足 $ \bar{a}(x) \geq C_* x/m(x) $，其中 $ C_* > 0 $ 为某绝对常数，且对所有充分大的 $ x $ 成立，从而在 $ m(x) $ 的框架下建立了下界。
• 在条件 (H) 下，有 $ \bar{a}(x) \leq C_H^* x/m(x) $，其中常数 $ C_H^* $ 仅依赖于 $ \delta_H $，从而得到匹配的上界，因此 $ \bar{a}(x) \asymp x/m(x) $。
• 若当 $ t \downarrow 0 $ 时 $ \frac{\alpha(t) + |\gamma(t)|}{t m(1/t)} \to 0 $，则 $ \frac{\bar{a}(x)}{x/m(x)} \to \infty $，表明 $ \bar{a}(x) $ 的增长快于 $ x/m(x) $。
• 当 $ \lim_{x \to \infty} \frac{m_+(x)}{m_-(x)} = 0 $ 时，有 $ \frac{a(-x)}{a(x)} \to 0 $，表明 $ a(x) $ 在负轴上的衰减具有显著不对称性。
• 利用 $ a(x) $ 的渐近行为，证明了 $ P(S_n > 0) \to 1/\alpha $ 当且仅当从区间 $ [-Q,R] $ 通过上边界逃逸的概率在 $ Q/(Q+R) \to \lambda \in (0,1) $ 时收敛于 $ \lambda^{\alpha-1} $。
• 结果为首次上升高度的相对稳定性提供了充分条件，并通过尾部条件 $ \int_1^\infty \frac{xP(X > x)}{m_-(x)}\,dx < \infty $ 精化了上升高度分布可积性的判别准则。