[论文解读] Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical polynomials

Feng Dai, Д. В. Горбачев+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Mathematical functions and polynomials参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文建立了单位球面 $\mathbb{S}^d$ 上球谐多项式渐近 Nikolskii 常数与涉及贝塞尔函数及其零点的极值问题之间的精确联系。证明了常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 随 $d \to \infty$ 指数衰减，其界为 $0.5^d \leq \mathcal{L}^*(d) \leq (0.857\cdots)^{d(1+O(d^{-2/3}))}$，解决了逼近论中关于最佳 Nikolskii 常数的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

Let $Π_n^d$ denote the space of spherical polynomials of degree at most $n$ on the unit sphere $\mathbb{S}^d\subset \mathbb{R}^{d+1}$ that is equipped with the surface Lebesgue measure $dσ$ normalized by $\int_{\mathbb{S}^d} \, dσ(x)=1$. This paper establishes a close connection between the asymptotic Nikolskii constant, $$ \mathcal{L}^\ast(d):=\lim_{n o \infty} \frac 1 {\dim Π_n^d} \sup_{f\in Π_n^d} \frac { \|f\|_{L^\infty(\mathbb{S}^d)}}{\|f\|_{L^1(\mathbb{S}^d)}},$$ and the following extremal problem: $$ \mathcal{I}_α:=\inf_{a_k} \Bigl\| j_{α+1} (t)- \sum_{k=1}^\infty a_k j_α \bigl( q_{α+1,k}t/q_{α+1,1}\bigr)\Bigr\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+)} $$ with the infimum being taken over all sequences $\{a_k\}_{k=1}^\infty\subset \mathbb{R}$ such that the infinite series converges absolutely a.e. on $\mathbb{R}_+$. Here $j_α$ denotes the Bessel function of the first kind normalized so that $j_α(0)=1$, and $\{q_{α+1,k}\}_{k=1}^\infty$ denotes the strict increasing sequence of all positive zeros of $j_{α+1}$. We prove that for $α\ge -0.272$, $$\mathcal{I}_α= \frac{\int_{0}^{q_{α+1,1}}j_{α+1}(t)t^{2α+1}\,dt}{\int_{0}^{q_{α+1,1}}t^{2α+1}\,dt}= {}_{1}F_{2}\Bigl(α+1;α+2,α+2;-\frac{q_{α+1,1}^{2}}{4}\Bigr). $$ As a result, we deduce that the constant $\mathcal{L}^\ast(d)$ goes to zero exponentially fast as $d o\infty$: \[ 0.5^d\le \mathcal{L}^{*}(d)\le (0.857\cdots)^{d\,(1+\varepsilon_d)} \ \ \ \ \ ext{with $\varepsilon_d =O(d^{-2/3})$.} \]

研究动机与目标

• 确定球面上球谐多项式最佳 Nikolskii 常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 在 $d \to \infty$ 时的渐近行为。
• 建立 $\mathcal{L}^*(d)$ 与涉及贝塞尔函数及其零点的极值问题之间的深刻联系。
• 解决高维中估计 $\mathcal{L}^*(d)$ 衰减速率的长期悬而未决问题。
• 将结果应用于获得 $L^1$-逼近和压缩感知中 Remez 常数 $\alpha_d^*$ 的渐近估计。

提出的方法

• 作者将渐近 Nikolskii 常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 定义为所有次数为 $n$ 的球谐多项式上比值 $\|f\|_{L^\infty}/\|f\|_{L^1}$ 的极限，再按空间 $\Pi_n^d$ 的维数进行归一化。
• 他们引入一个涉及贝塞尔函数与一系列缩放贝塞尔函数之差的上确界范数的极值问题 $\mathcal{I}_\alpha$，其中系数 $\{a_k\}$ 的选择旨在最小化该范数。
• 证明了 $\mathcal{I}_\alpha$ 的解等于包含 $j_{\alpha+1}(t)$ 和 $t^{2\alpha+1}$ 的积分之比，该比值可表示为广义超几何函数 ${}_1F_2$。
• 利用贝塞尔函数零点的渐近性质及斯特林公式，作者推导出 $\mathcal{L}^*(d)$ 随 $d \to \infty$ 的指数衰减率。
• 他们将主要结果应用于 Remez 型问题，通过 $\mathcal{L}^*(d)$ 与 $\mathbb{R}^d$ 上 Nikolskii 常数的联系，推导出 Remez 常数 $\alpha_d^*$ 的界。
• 分析依赖于关于指数型整函数的已知结果以及球谐函数的结构，特别是 $j_{\alpha+1}$ 的第一个正零点 $q_{\alpha+1,1}$ 的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $d \to \infty$ 时，球面上球谐多项式的 Nikolskii 常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 的渐近衰减率是什么？
• RQ2 渐近 Nikolskii 常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 如何与涉及贝塞尔函数及其零点的极值问题相关联？
• RQ3 在高维中，能否对球面上 $L^1 \to L^\infty$ 的 Nikolskii 不等式中的最佳常数进行精确估计？
• RQ4 这些估计对 $L^1$-逼近理论中 Remez 常数 $\alpha_d^*$ 有何影响？
• RQ5 常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 的指数衰减是否为最优，其精确界限是什么？

主要发现

• 渐近 Nikolskii 常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 随 $d \to \infty$ 指数衰减，其界为 $0.5^d \leq \mathcal{L}^*(d) \leq (0.857\cdots)^{d(1+O(d^{-2/3}))}$。
• 对于 $\alpha \geq -0.272$，极值问题 $\mathcal{I}_\alpha$ 被精确求解，得到 $\mathcal{I}_\alpha = {}_1F_2\bigl(\alpha+1; \alpha+2, \alpha+2; -q_{\alpha+1,1}^2/4\bigr)$。
• 证明了常数 $\mathcal{L}^*(d)$ 满足 $\mathcal{L}^*(d) \leq \mathcal{I}_{d/2-1}$，从而将球面问题与贝塞尔函数极值问题联系起来。
• 对于 Remez 常数 $\alpha_d^*$，本文推导出渐近界 $\bigl(\frac{V_d \alpha_d^*}{(2\pi)^d}\bigr)^{1/d} \geq (\sqrt{e/2})^{1+o(1)}$ 和 $\leq e^{1+o(1)}$，当 $d \to \infty$ 时，优于以往估计。
• 通过贝塞尔函数零点的渐近分析及斯特林公式，确立了 $\mathcal{L}^*(d)$ 的指数衰减，显示当 $\alpha \to \infty$ 时，$a_0^* \sim C \alpha^{-1/6} (2\alpha/e)^\alpha \cdot (\alpha + O(\alpha^{1/3}))^{-\alpha}$。
• 结果证实，球面上 $L^1 \to L^\infty$ 的最佳 Nikolskii 常数衰减速度快于任何关于 $d$ 的多项式，且其指数衰减率具有定量界定。