[论文解读] Estimating Number of Factors by Adjusted Eigenvalues Thresholding

Jianqing Fan, Jianhua Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 18被引用 24

一句话总结

本文提出了一种名为调整相关阈值法（Adjusted Correlation Thresholding, ACT）的新方法，通过利用样本相关矩阵的特征值来估计高维因子模型中的公共因子数量。该方法基于随机矩阵理论，校正了最大特征值中的偏差和估计误差，表明在温和条件下，总体相关矩阵中大于1的特征值数量等于公共因子的数量，从而在准确性上优于基于协方差的方法。

ABSTRACT

Determining the number of common factors is an important and practical topic in high dimensional factor models. The existing literatures are mainly based on the eigenvalues of the covariance matrix. Due to the incomparability of the eigenvalues of the covariance matrix caused by heterogeneous scales of observed variables, it is very difficult to give an accurate relationship between these eigenvalues and the number of common factors. To overcome this limitation, we appeal to the correlation matrix and show surprisingly that the number of eigenvalues greater than $1$ of population correlation matrix is the same as the number of common factors under some mild conditions. To utilize such a relationship, we study the random matrix theory based on the sample correlation matrix in order to correct the biases in estimating the top eigenvalues and to take into account of estimation errors in eigenvalue estimation. This leads us to propose adjusted correlation thresholding (ACT) for determining the number of common factors in high dimensional factor models, taking into account the sampling variabilities and biases of top sample eigenvalues. We also establish the optimality of the proposed methods in terms of minimal signal strength and optimal threshold. Simulation studies lend further support to our proposed method and show that our estimator outperforms other competing methods in most of our testing cases.

研究动机与目标

• 为解决基于协方差的因子估计方法因观测变量尺度异质性而失效的局限性。
• 建立总体相关矩阵中大于1的特征值数量与真实公共因子数量之间的理论联系。
• 开发一种利用随机矩阵理论校正样本最大特征值中偏差和估计误差的方法。
• 提出一种新的、更可靠的估计器——调整相关阈值法（ACT），用于确定高维因子模型中的因子数量。

提出的方法

• 该方法基于总体相关矩阵，当满足温和正则性条件时，大于1的特征值数量等于公共因子数量。
• 将随机矩阵理论应用于样本相关矩阵，以校正最大特征值估计中的偏差。
• 采用基于调整后特征值的阈值规则，以考虑抽样变异性与估计误差。
• 通过使用样本相关矩阵替代样本协方差矩阵，确保尺度不变性。
• 在维度与样本量均趋于无穷的高维设定下，推导最大特征值的渐近分布。
• 最终的估计器ACT将因子数量选择为调整后特征值超过校正阈值的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在温和条件下，总体相关矩阵中大于1的特征值数量是否等于公共因子数量？
• RQ2 能否利用随机矩阵理论校正相关矩阵样本最大特征值中的偏差与估计误差？
• RQ3 与现有基于协方差的方法相比，所提出的ACT方法在准确性和一致性方面表现如何？
• RQ4 该方法在高维数据中对观测变量尺度异质性是否具有鲁棒性？
• RQ5 该方法能否在静态与动态因子模型中可靠地检测出真实的因子数量？

主要发现

• 在温和正则性条件下，总体相关矩阵中大于1的特征值数量恰好等于公共因子数量。
• 在模拟研究中，所提出的ACT方法显著优于ON、ED、ER和GR等现有方法，尤其在变量尺度异质性较高的场景下表现更优。
• 在Fama-French因子与动量因子的实证应用中，ACT在金融危机前后均正确识别出三个因子，与主成分空间高度一致。
• 当选择三个因子时，该方法实现了较高的R²值（例如，总方差解释率达85.90%），且因子空间与真实因子空间之间的距离极小（‖PA−PB‖₂ = 0.406，危机后）。
• 投影矩阵范数表明，Fama-French因子空间与主成分因子空间高度对齐，危机后Frobenius范数差异为0.708。
• 动量因子无法被主成分有效解释，表明ACT正确识别出其在因子结构中不占主导地位。