[论文解读] Estimation in semi-parametric regression with non-stationary regressors

Chen Jia, Jiti Gao+1 more|Adelaide Research & Scholarship (AR&S) (University of Adelaide)|May 15, 2012

Statistical Methods and Inference参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文提出了一种半参数最小二乘法（SLS）估计方法，用于具有非平稳回归变量的部分线性模型，其中非参数分量由零递归马尔可夫过程驱动。该文建立了参数估计量在标准 $ \sqrt{n} $ 速率下的渐近正态性，并推导了非参数估计量的渐近分布，将半参数回归理论扩展至非平稳设定。

ABSTRACT

In this paper, we consider a partially linear model of the form $Y_t=X_t^τθ_0+g(V_t)+ε_t$, $t=1,...,n$, where $\{V_t\}$ is a $β$ null recurrent Markov chain, $\{X_t\}$ is a sequence of either strictly stationary or non-stationary regressors and $\{ε_t\}$ is a stationary sequence. We propose to estimate both $θ_0$ and $g(\cdot)$ by a semi-parametric least-squares (SLS) estimation method. Under certain conditions, we then show that the proposed SLS estimator of $θ_0$ is still asymptotically normal with the same rate as for the case of stationary time series. In addition, we also establish an asymptotic distribution for the nonparametric estimator of the function $g(\cdot)$. Some numerical examples are provided to show that our theory and estimation method work well in practice.

研究动机与目标

• 为解决现有半参数回归理论在非平稳回归变量模型中的空白，特别是当非参数分量源于零递归马尔可夫过程时。
• 开发一种新估计方法，确保在非平稳条件下仍保持渐近效率与一致性。
• 将现有渐近理论——此前仅限于严格平稳过程——扩展至非平稳及零递归时间序列。
• 在存在非平稳分量的情况下，建立参数估计量与非参数估计量的渐近分布。
• 为在具有非平稳特征的经济与金融时间序列中使用半参数方法提供理论依据。

提出的方法

• 为参数分量 $ \theta_0 $ 提出半参数最小二乘法（SLS）估计量，并为非参数函数 $ g(\cdot) $ 提供基于核的估计量。
• 采用带宽 $ h $ 和由核 $ K $ 及 $ V_t $ 的密度导出的权重函数 $ w_{nt}(v) $ 进行核加权平均。
• 对零递归马尔可夫过程 $ \{V_t\} $ 进行变换处理，该过程缺乏紧支集和标准混合性质。
• 对误差过程 $ \{\epsilon_t\} $ 施加正则性条件，允许其为平稳过程，或满足 $ \alpha $-混合性或异方差性。
• 通过一系列随机展开和鞅型论证分析偏差与方差项，推导渐近分布。
• 采用新颖的技术方法，用 $ n^{\beta - \eta} $ 替代邻域 $ N(n) $ 中的观测数，实现在非平稳条件下的渐近控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当回归变量非平稳且非参数分量由零递归马尔可夫过程驱动时，半参数最小二乘估计是否仍能保持参数分量的渐近正态性？
• RQ2 在非平稳与零递归设计下，非参数估计量 $ \widehat{g}_n(v) $ 的渐近分布为何？
• RQ3 所提出的 SLS 方法如何处理半参数回归中标准混合性与平稳性假设的失效？
• RQ4 将经典半参数理论扩展至非独立同分布与非平稳时间序列，需要哪些技术修改？
• RQ5 在非平稳条件下，估计量是否仍保持 $ \sqrt{n} $ 的收敛速率？

主要发现

• 即使 $ \{X_t\} $ 为非平稳过程且 $ \{V_t\} $ 为零递归马尔可夫过程，$ \theta_0 $ 的 SLS 估计量仍具有标准 $ \sqrt{n} $ 速率的渐近正态性。
• 非参数估计量 $ \widehat{g}_n(v) $ 具有渐近正态性，其渐近分布已在零递归假设下被推导。
• 当按 $ \sqrt{\sum_t K((V_t - v)/h)} $ 标准化时，非参数估计的偏差项为 $ o_P(1) $，确保了一致性。
• 在 $ \epsilon_t $ 的 $ \alpha $-混合性与平稳性条件下，非参数估计量的渐近方差收敛于 $ \sigma^2 \int K^2(u) du $。
• 尽管回归变量为非平稳，参数估计量 $ \widehat{\theta}_n $ 仍达到与平稳情况相同的渐近效率。
• 理论结果得到了数值示例的支持，表明所提方法在有限样本下表现出良好的性能。